Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 2 27. April 2012

Sei K ein Körper und L eine Lie-Algebra über K. Generell werden alle auftauchenden Lie-Algebren als endlich-dimensional vorausgesetzt.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Seien V, W L-Moduln. Prüfen Sie, dass folgende K-Vektorräume mit den angegebenen Operationen L-Moduln sind:

a) V^{∗} = Hom_{K}(V, K) mit (x.f)(v) = −f(x.v) für f ∈ V^{∗}, v ∈ V, x ∈ L,

b) V ⊗_{K} W mit x.(v ⊗ w) = x.v ⊗ w + v ⊗ x.w für v ∈ V, w ∈ W, x ∈ L,

c) Hom_{K}(V, W) mit (x.f)(v) = x.f(v) − f(x.v) für f ∈ Hom_{K}(V, W), v ∈ V, x ∈ L.

Verifizieren Sie folgenden Isomorphismus von L-Moduln: Hom(V, W) ≅ V^{∗} ⊗ W.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei V ein L-Modul. Zeigen Sie, dass V direkte Summe irreduzibler L-Moduln ist genau dann, wenn jeder L-Untermodul von V ein Komplement besitzt.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei L = 𝔰𝔩_{2}(K), W_{1} = K ⊕ K, aufgefasst als L-Modul mit der natürlichen Matrizenmultiplikation und V = K[X, Y]. Man kann den Vektorraum Sym^{k}(V), erzeugt von den homogenen Polynomen vom Grad k, mit der k-ten symmetrischen Potenz S^{k}W_{1} identifizieren. Hierbei operieren die Standarderzeuger x, y, h ∈ L via

x.f(X, Y) = X \frac{∂}{∂Y} f(X, Y), y.f(X, Y) = Y \frac{∂}{∂X} f(X, Y), h.f(X, Y) = X \frac{∂}{∂X} f(X, Y)−Y \frac{∂}{∂Y} f(X, Y).

Zeigen Sie, dass man eine Isomorphie W_{n} = Sym^{k}(V) hat.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei K algebraisch abgeschlossen der Charakteristik 0 und φ : L → 𝔤𝔩(V) eine Darstellung. Zeigen Sie:

a) Ist L auflösbar, so ist φ|_{[L,L]} eine nilpotente Darstellung, d.h. φ([L, L])^{n} = 0 für n gross genug.

b) L ist auflösbar genau dann, wenn [L, L] nilpotent ist.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 4. Mai 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.