Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Sommersemester 2012

Aufgabenblatt 1 20. April 2012

Auf dem ersten Blatt wollen wir uns einige grundlegende Begriffe rund um Lie-Algebren aus dem letzten Semester vergegenwärtigen. Sei K ein Körper.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei V ein 2l-dimensionaler K-Vektorraum und f die nicht-degenerierte symmetrische Bilinear-

form gegeben durch die Matrix s = (\begin{matrix}0 & I_{l} \\ I_{l} & 0 \end{matrix}). Sei 𝔬_{2l}(K) = 𝔬(V) = \{x ∈ End(V)| f(x(v), w) =

−f(v, x(w)) ∀v, w ∈ V }. Zeigen Sie, dass 𝔬(V) eine Unterliealgebra von 𝔤𝔩(V) = End(V) ist, und bestimmen Sie die Dimension von 𝔬(V).

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra. Zeigen Sie: Ist L auflösbar, so sind alle Unteralgebren und alle homomorphen Bilder von L ebenfalls auflösbar. Ist I ein auflösbares Ideal von L und L/I auflösbar, so ist L auflösbar. Sind I, J auflösbare Ideale von L, so ist I + J auflösbar. Zeigen Sie damit, dass das Radikal Rad(L) existiert, und dass L/Rad(L) halbeinfach ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei V ein dreidimensionaler K-Vektorraum mit Basis {x, y, z}. Zeigen Sie: Die Relationen [x, y] := z, [x, z] := y, [y, z] := 0 mit den Relationen (1), (2) aus den Axiomen einer Lie-Algebra machen V zu einer Lie-Algebra. V ist auflösbar, aber nicht nilpotent.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra. Zeigen Sie, dass L nilpotent ist genau dann, wenn ad(L) = {ad(x)(·) = [x, ·]| x ∈ L} ⊂ End(L) nilpotent ist. Zeigen Sie schliesslich, dass 𝔰𝔩_{2}(K) nilpotent ist, falls char(K) = 2. Bemerkung: Da aus nilpotent auflösbar folgt (d.h. Rad(L) = L) steht dies im krassen Gegensatz zum Fall char(K) = 0 (plus der Annahme, dass K algebraisch abgeschlossen ist): dann gilt sogar, dass für L = 𝔰𝔩_{n}(K) für beliebiges n halbeinfach ist (d.h. Rad(L) = 0).

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie2

Abgabe bis spätestens 27. April 2012 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.