Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 12 20. Januar 2012

Wie üblich arbeiten wir mit Lie-Algebren über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0.

Aufgabe 1. (16 Punkte) Wir wollen zeigen, dass für eine beliebige Lie-Algebra L der Schnitt zweier BUA B_{1}, B_{2} eine CUA enthält. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

a) Reduzieren Sie (analog zur Vorlesung) auf den Fall einer halbeinfachen Lie-Algebra. Dies nehmen wir in den folgenden Schritten an.

b) Zeigen Sie, dass eine auflösbare Unteralgebra B von L, die eine CUA H enthält, von der Form B = H ⊕ [B, B] ist, und dass [B, B] mit der Menge der ad-nilpotenten Elemente von L in B übereinstimmt. Benutzen Sie dafür eine Wurzelraumzerlegung von B bzgl. H.

c) Zeigen Sie, dass eine Unteralgebra B von L eine BUA ist genau dann, wenn [B, B] = B^{⊥}. Benutzen Sie dafür Cartans Kriterium und Lies Theorem.

d) Seien nun H_{1}, H_{2} CUA von B_{1}, B_{2} resp. (warum existieren diese?) und N_{i} = [B_{i}, B_{i}]. Zeigen Sie, dass B_{1} ⊂ N_{1} + B_{2} und damit B_{1} = N_{1} + (B_{1} ∩ B_{2}).

e) Finden Sie Elemente z ∈ H_{1}, n ∈ N_{1} und w ∈ B_{1} ∩ B_{2} mit H_{1} = L_{0}(adz) sowie w = z + n. Sei r_{i} = dim H_{i}. Zeigen Sie mit Hilfe der Elemente z, n, w, dass r_{1} = r_{2}. Folgern Sie, dass jede CUA von L Dimension r_{i} haben muss (dieses ist übrigens der Rang von L, definiert wie auf dem letzten Blatt). Finden Sie schliesslich eine CUA, die zu w gehört, die in B_{1} ∩ B_{2} enthalten ist.

     Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 27. Januar 2012, bei den Kästen an Hörsaal 2.