Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 11 13. Januar 2012

Wie üblich arbeiten wir mit Liealgebren über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei L ≠ 0 eine Liealgebra der Dimension n. Zu x ∈ L kann man das charakteristische Polynom P_{x}(T) = det(T − ad x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}(x)T^{i} betrachten. Der Rang von L ist die kleinste Zahl e, sodass a_{e} nicht identisch Null ist. x ∈ L heisst regulär, wenn a_{e}(x) = 0 (man kann zeigen, dass dieser Begriff von Regularität dem aus der Vorlesung entspricht, wenn L halbeinfach ist). Zeigen Sie: Man hat 1 ≤ e ≤ n, es gilt e = n genau dann, wenn L nilpotent ist und L besitzt unendlich viele reguläre Elemente.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei L eine halbeinfache Liealgebra.

a) Sei L = L_{1} ⊕ … ⊕ L_{t} die Zerlegung von L in einfache Ideale. Zeigen Sie, dass die halbeinfachen und nilpotenten Teile von x ∈ L die Summe der halbeinfachen und nilpotenten Teile der Komponenten von x in L_{i} sind.

b) Sei L′ eine halbeinfache Lieunteralgebra von L und x ∈ L′. Zeigen Sie, dass die Jordanzerlegung von x in L′ schon die Jordanzerlegung in L ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei L eine halbeinfach Liealgebra und L′ eine halbeinfache Lieunteralgebra. Zeigen Sie, dass jede CUA von L′ in einer CUA von L liegt.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei L eine Liealgebra. Zeigen Sie: #E(L) = 1 genau dann, wenn L nilpotent ist.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 20. Januar 2012, bei den Kästen an Hörsaal 2.