Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 10 16. Dezember 2011

Wie in der Vorlesung arbeiten wir mit einem Euklidischen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum E.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Wurzelsystem isomorph zu seinem dualen ist, ausser im Fall B_{l} = (C_{l})^{∗} für l ≥ 3.

Aufgabe 2. (5 Punkte) Sei Φ ein Wurzelsystem mit Basis Δ und E = {π ∈ S(Δ)| ⟨α, β⟩ = ⟨π(α), π(β)⟩}, d.h. die Gruppe aller Permutationen von Δ, die die Cartan-Matrix invariant lassen. Zeigen Sie folgende Isomorphien für E:

a) E = {1} für Φ = A_{1}, B_{l}, C_{l}, G_{2}, F_{4}, E_{7}, E_{8}.

b) E = ℤ/2ℤ für Φ = A_{l}, l ≥ 2, D_{l}, l ≥ 5, E_{6}.

c) E = S_{3} für Φ = D_{4}.

Aufgabe 3. (5 Punkte) Sei Φ ein Wurzelsystem und (α_{1}, …, α_{l}) eine geordnete Menge von einfachen Wurzeln für Φ sowie A_{ij} = ⟨α_{i}, α_{j}⟩, sodass A = (A_{ij}) die Cartan-Matrix von Φ bzgl. obiger einfacher Wurzeln ist. Zeigen Sie:

a) Es existiert eine Diagonalmatrix D mit positiven Einträgen, sodass DAD^{−1} symmetrisch positiv definit ist.

b) Die Diagonalmatrix aus a) ist eindeutig bis auf ein skalares Vielfaches.

Aufgabe 4. (2 Punkte) Bestimmen Sie das Dynkin-Diagram und das Wurzelsystem Φ, welches zu folgender Cartan-Matrix gehört:

( \begin{matrix}2 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & −2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 2 \end{matrix} ) ,

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 22. Dezember 2011, bei den Kästen an Hörsaal 2.