Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 9 9. Dezember 2011

Wie in der Vorlesung arbeiten wir mit einem Euklidischen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum E.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei Φ^{∨} das duale Wurzelsystem zu einem Wurzelsystem Φ sowie Δ^{∨} = {α^{∨}| α ∈ Δ}. Zeigen Sie: Δ^{∨} ist eine Basis von Φ.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei γ_{1}, …, γ_{l} eine Basis von E, H_{γ_{i}} = {x ∈ E| (x, γ_{i}) > 0}, Φ ⊆ E eine beliebige endliche Teilmenge sowie P_{α} die Hyperebene assoziiert zu α ∈ Φ. Zeigen Sie:

a) E \ ⋃_{α∈Φ} P_{α} ≠ ∅,

b) ⋂_{γ_{i}} H_{γ_{i}} ≠ ∅.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei Δ = {α_{1}, …, α_{l}} ⊂ Φ eine Basis von Φ und sei 0 ≠ λ = ∑_{i=1}^{l} k_{i}α_{i}, k_{i} ∈ ℤ, alle k_{i} ≥ 0 oder alle k_{i} ≤ 0. Zeigen Sie: Entweder ist kλ ∈ Φ, oder es existiert ein σ ∈ W, sodass σ(λ) = ∑_{i=1}^{l} k′_{i}α_{i} mit bestimmten k′_{i} > 0 und bestimmten k′_{i} < 0. Hinweis: Angenommen, kλ ∉ Φ, so P_{λ} ⊄ ⋃_{α∈Φ} P_{α}. Finden Sie ein μ und ein σ mit 0 = (λ, μ) = (σλ, σμ).

Aufgabe 4. (4 Punkte) Seien α ≠ β ∈ Φ und Span_{ℝ} (α, β) =: E′ ⊂ E. Zeigen Sie, dass E′ ∩ Φ bzw. Φ_{α,β} := Φ ∩ (ℤα + ℤβ) Wurzelsysteme für E′ sind. Stimmen diese überein? Zeigen Sie im Falle α, β ∈ Δ, dass die Weyl-Gruppe W_{α,β} von Φ_{α,β} erzeugt ist von den Einschränkungen τ_{α}, τ_{β} auf E′ von σ_{α}, σ_{β}, d.h. W_{α,β} ist eine Untergruppe von W.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 16. Dezember 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.