Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 8 2. Dezember 2011

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei V ein Vektorraum über ℝ und 0 ≠ α ∈ V. Ein Automorphismus s_{α} von V, der die zwei Eigenschaften: (i) s_{α}(α) = −α, (ii) die Menge H der Elemente von V, die von s_{α} festgelassen werden, ist eine Hyperebene von V, hat, heisst Symmetrie mit Vektor α. Zeigen Sie:

a) s_{α} ist ein Symmetrie mit Vektor α genau dann, wenn s_{α} = 1−α^{∗} ⊗α, wobei α^{∗} ∈ V^{∗} eindeutig mit α^{∗}(α) = 2.

b) Sei R eine endliche Teilmenge von V, sodass ⟨R⟩ = V. Dann gibt es höchstens eine Symmetrie mit Vektor α, die R invariant lässt.

Aufgabe 2. (8 Punkte) Sei V zunächst einfach als ℝ-Vektorraum (ohne fixierte Euklidische Struktur) betrachtet. Eine endliche Teilmenge R von V heisst Wurzelsystem, wenn folgendes gilt:

a) |R| < ∞, ⟨R⟩ = V, 0 ∉ R,

b) Die einzigen Vielfachen von α ∈ R sind ±α.

c) Für alle α ∈ R existiert eine Symmetrie s_{α} mit Vektor α, die R invariant lässt,

d) Für alle α, β ∈ R ist s_{α}(β) − β ∈ ℤ · α,

Beschreiben Sie, wie man analog die Weyl-Gruppe definieren kann. Zeigen Sie ausserdem folgende Aussagen: Ist R ein Wurzelsystem im obigen Sinne, so existiert eine positiv definite symmetrische Bilinearform ( , ) auf V, die invariant unter der Weyl-Gruppe von R ist. Erläutern Sie, wie man mit dieser Form ein Wurzelsystem im Sinne der Vorlesung erhält. Beschreiben Sie den Zusammenhang von α^{∗} und α^{∨}. Ist R eine Teilmenge von V, die nur die Eigenschaften a), c), d) erfüllt, so sind die einzig möglichen Vielfachen von α ∈ R: ±1/2, ±α, ±2α. Zeigen Sie dann, dass {α ∈ R| 2α ∉ R} ein Wurzelsystem ist. Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass α − β eine Wurzel sein kann, auch wenn möglicherweise (α, β) < 0.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei Φ ein Wurzelsystem eines Euklidischen Vektorraums V mit Weyl-Gruppe W. Zeigen Sie: Φ^{∨} ist ein Wurzelsystem von V, dessen Weyl-Gruppe kanonisch isomorph zu W ist. Es gilt ⟨α^{∨}, β^{∨}⟩ = ⟨β, α⟩. Zeichnen Sie ein Bild von Φ^{∨} in den Fällen A_{1}, B_{2}.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 9. Dezember 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.