Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 7 25. November 2011

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei L(m) der m + 1-dimensionale Vektorraum über K mit Basis (v_{0}, …, v_{m}). Für x, y, h ∈ 𝔰𝔩_{2}(K) wie zuvor und λ = m definieren wir (mit v_{i} = 0 für i ∉ {0, …, m}) h.v_{i} = (λ − 2i)v_{i}, y.v_{i} = (i + 1)v_{i+1}, x.v_{i} = (λ − i + 1)v_{i−1}. Zeigen Sie, dass L(m) so zu einem irreduziblen 𝔰𝔩_{2}(K)-Modul wird.

Aufgabe 2. (6 Punkte) Seien

h_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , h_{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ 𝔰𝔩_{3}(K)

und ϕ : 𝔰𝔩_{3}(K) → 𝔤𝔩(V) eine Darstellung von 𝔰𝔩_{3}(K). Ein Paar (m_{1}, m_{2}) ∈ K^{2} heisst Gewicht für ϕ, wenn v ≠ 0 in V existiert mit ϕ(h_{1})(v) = m_{1}v, ϕ(h_{2})(v) = m_{2}v. Zeigen Sie: Jede Darstellung von 𝔰𝔩_{3}(K) hat mindestens ein Gewicht, wobei die Gewichte m_{1}, m_{2} ganze Zahlen sind.

Aufgabe 3. (6 Punkte) Bestimmen Sie für L = 𝔰𝔩_{n}(K) und L = 𝔰𝔭_{n}(K) die maximale torale Unteralgebra, die Wurzeln und die Wurzelräume.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 2. Dezember 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.