Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 6 18. November 2011

Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei L eine auflösbare Lie-Algebra über K. Zeigen Sie: Jede irreduzible Darstellung von L ist eindimensional.

Aufgabe 2. (5 Punkte) Eine Lie-Algebra L, für die Rad(L) = Z(L) gilt, wollen wir reduktiv nennen. Zeigen Sie:

a) Ist L reduktiv, so ist L vollständig reduzibel, aufgefasst als L-Modul über die ajungierte Darstellung. Insbesondere zerlegt sich L als direkte Summe von Z(L) und [L, L].

b) Ist L vollständig reduzibel als als L-Modul, so ist L reduktiv.

Man überlege sich, dass folgende Lie-Algebren reduktiv sind: L halbeinfach, L abelsch, L = 𝔤𝔩_{n}(K).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei L eine einfache Lie-Algebra K. Seien β(x, y) und γ(x, y) zwei symmetrische, assoziative Bilinearformen auf L. Zeigen Sie: Sind β, γ nicht-degeneriert, so existiert ein Skalar λ ∈ K mit λ · β = γ. Hinweis: Schurs Lemma.

Aufgabe 4. (3 Punkte) Sei V ein L-Modul. Zeigen Sie: V ist die direkte Summe von irreduziblen L-Untermoduln genau dann, wenn jeder L-Untermodul von V ein L-Komplement in V hat.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 25. November 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.