Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 4 4. November 2011

Aufgabe 1. (3 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra. Zeigen Sie: Der(L) ist eine Lie-Unteralgebra von 𝔤𝔩(L), und ad(L), die Menge aller inneren Derivationen, ist ein Ideal darin.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei K ein Körper. Zeigen Sie: 𝔰𝔩_{n}(K) = [𝔤𝔩_{n}(K), 𝔤𝔩_{n}(K)].

Aufgabe 3. (5 Punkte) Sei L eine Lie-Algebra und I ein Ideal von L. Zeigen Sie:

a) Für n ∈ ℕ gilt: I^{(n)} und I^{n} sind Ideale in L.

b) L ist auflösbar genau dann, wenn ad(L) ⊂ Der(L) auflösbar ist.

c) L ist nilpotent genau dann, wenn ad(L) ⊂ Der(L) nilpotent ist.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei K ein Körper und V ein dreidimensionaler Vektorraum mit Basis {x, y, z}. Zeigen Sie:

a) Die Relationen [x, y] = z, [x, z] = y, [y, z] = 0 mit den Relationen (1), (2) aus den Axiomen einer Lie-Algebra (Definition 1 II §1) machen V zu einer Lie-Algebra.

b) V ist auflösbar, aber nicht nilpotent.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 11. November 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.