Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 3 28. Oktober 2011

Aufgabe 1. (4 Punkte) Zeigen Sie: Ist G eine zusammenhängende Lie-Gruppe und U eine Umgebung der 1 in G, so wird G von U erzeugt (d.h. für die von U erzeugte Untergruppe H in G gilt H = G).

Aufgabe 2. (6 Punkte) Sei G die Lie-Gruppe SO(3) = SO(3, ℝ). Wir fixieren folgende Matrizen:

J_{x} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , J_{y} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , J_{z} = ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Zeigen Sie: {J_{x}, J_{y}, J_{z}} bilden eine Basis von 𝔰𝔬(3). Beschreiben Sie die Elemente exp(tJ_{x}), exp(tJ_{y}), exp(tJ_{x}), t ∈ ℝ, und zeigen Sie, dass diese die Lie-Gruppe SO(3) erzeugen. Hinweis: Aufgabe 1 von diesem und Aufgabe 1 vom letzten Blatt. Nehmen Sie an, dass wir wissen, dass SO(n) zusammenhängend ist. Wie könnte man das beweisen?

Aufgabe 3. (6 Punkte) Sei Ad_{Sp(1)} : Sp(1) → Aut(𝔰𝔭(1)) induziert duch die Konjugation auf Sp(1).

a) Ad_{Sp(1)}(x) = hxh^{−1} für h ∈ Sp(1), x ∈ 𝔰𝔭(1),

b) Bild(Ad_{Sp(1)}) ≅ SO(3),

c) ker(Ad_{Sp(1)}) = ℤ/2.

Hinweis: Man kann identifizieren: Sp(1) = SU(2), 𝔰𝔭(1) = 𝔰𝔬(3), und damit die Wirkung von Ad_{Sp(1)} : SU(2) → Aut(𝔰𝔬(3)) ≅ GL_{3}(ℝ) auf den Pauli-Matrizen

σ_{1} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , σ_{2} = ( \begin{matrix}0 & −i \\ i & 0 \end{matrix} ) , σ_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ,

berechnen. Dann verwende man Aufgabe 2.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 4. November 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.