Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 2 21. Oktober 2011

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei G eine Lie-Gruppe und H ⊂ G eine Untergruppe (als abstrakte Gruppe). Zeigen Sie: Ist H eine Mannigfaltigkeit, so ist H ⊂ G abgeschlossen.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Ist G eine Lie-Gruppe, so bezeichnen wir mit exp_{G} : L(G) → G die zugehörige Exponentialabbildung. Seien nun G und H Lie-Gruppen. Zeigen Sie: exp_{G×H} = exp_{G} × exp_{H}.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie für folgende Lie-Gruppen G die Lie-Algebra LG und möglichst explizit die zu jedem v ∈ LG gehörige Ein-Parameter-Gruppe:

a) G = V für einen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum V,

b) G = ℝ^{n}/ℤ^{n},

c) G = Aut(V) für einen endlich-dimensionalen ℝ-Vektorraum V.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei G eine Lie-Gruppe und c(g) : G → G die zu g ∈ G assoziierte Konjugationssabbildung x ↦ gxg^{−1}. Dies induziert eine Abbildung Ad : G → Aut(LG) und damit eine Abbildung ad : LG → LAut(LG). Zeigen Sie: [X, Y] = ad(X)(Y).

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 28. Oktober 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.