Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Lie-Algebren und Lie-Gruppen

Wintersemester 2011/12

Aufgabenblatt 1 14. Oktober 2011

Aufgabe 1. (4 Punkte) Man zeige mit Hilfe des Satzes über implizit definierte Funktionen, wie man mit Hilfe der Funktion F (X) = det X − 1 für

SL_{n}(ℝ) = {X ∈ GL_{n}(ℝ)| det X = 1}

lokale Parametrisierungen bekommt. Zusatz: Zeigen Sie weiter, dass SL_{n}(ℝ) eine Lie-Gruppe ist.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei G eine Lie-Gruppe und LG = T_{e}G die assoziierte Lie-Algebra an der Identität e ∈ G.

a) Man zeige, dass die Lie-Klammer [ , ] : LG × LG → LG die Jakobi-Identität

[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

erfüllt.

b) Sei f : H → G ein Homomorphismus von Lie-Gruppen. Man zeige, dass Lf([X, Y]) = [Lf(X), Lf(Y)] für alle X, Y ∈ LH gilt.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Seien ℍ die Hamiltonschen Quaternionen und n ∈ ℕ sowie Sp_{n} = Sp_{n}(ℂ) ∩ U_{2n}. Man kann auf ℍ^{n} eine Norm via N(h) = ∑_{i=1}^{n} h_{i}\overline{h}_{i} fuer h ∈ ℍ^{n} definieren. Zeigen Sie, dass

Sp_{n} = {X ∈ GL_{n}(ℍ)| N(X(h)) = N(h) ∀h ∈ ℍ^{n}}.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei G eine der Matrizen-Lie-Gruppen. Zeigen Sie, dass aus der Differenzierbarkeit der Multiplikation μ : G × G → G schon die Differenzierbarkeit der Invertierungsabbildung i : G → G, g ↦ g^{−1} folgt. Hinweis: Satz über implizite Funktionen an der Identität.

          Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/lie

Abgabe bis spätestens 21. Oktober 2011 vor der Vorlesung, bei den Kästen an Hörsaal 2.