Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 12 24. Januar 2011

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei R ein Noetherscher Ring und S ⊂ R eine (zentrale) multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R. Zeigen Sie: K_{n}M_{S}(R) = \underrightarrow{lim}_{s∈S} G_{n}(R/sR).

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei A eine exakte Kategorie und B ∈ A. Ein zulässiger Layer von B ist ein Paar von Unterobjekten repräsentiert durch eine Sequenz B_{1} ↪ B_{2} ↪ B von zulässigen Monomorphismen. Der Quotient B_{2}/B_{1} heisst zulässiger Subquotient von B. Zeigen Sie, dass ein Morphismus A → B in QA einem Isomorphismus j : B_{2}/B_{1} ≅ A von A mit einem zulässigen Subquotienten von B entspricht, und dass die Komposition in QA aus ”Subquotient eines Subquotienten ist Subquotient” entsteht.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei S eine simpliziale Menge und P S der Pfadraum, d.h. die simpliziale Menge, die durch Komposition von P : Δ^{op} → Δ^{op} mit S entsteht. Sei S_{0} die konstante simpliziale Menge \underline{n} ↦ S_{0}. Zeigen Sie, dass P S schwach äquivalent zu S_{0} ist.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei ein Funktor F : C → D gegeben. Für D ∈ D ist die Unterkategorie F^{−1}(D) von C gegeben durch Objekte C mit F (C) = D sowie Morphismen in C, die auf die Identität von D abgebildet werden. F heisst prägefasert, falls für jedes D ∈ D die Inklusion F^{−1}(D) ↪ D\F einen rechtsadjungierten Funktor hat. Dual heisst F präcogefasert, falls F^{−1}(D) ↪ F/D einen linksadjungierten Funktor hat. Ist F prägefasert, so ist zu f : D → D′ der Basiswechsel f^{∗} : F^{−1}(D′) ↪ D\F → F^{−1}(D) definiert. Ist analog F präcogefasert, so hat man den Cobasiswechsel f_{∗} : F^{−1}(D) ↪ F/D′ → F^{−1}(D′). Sei F nun präcogefasert.

a) Zeigen Sie, dass F^{op} : C^{op} → D^{op} prägefasert ist.

b) Leiten Sie die duale Formulierung von Quillens Theorem B unter Benutzung von D\F und F^{op} her.

c) Ist jeder Cobasiswechsel f_{∗} eine Homotopieäquivalenz, so induziert F^{−1}(D) → C → D eine Homotopiefasersequenz für jedes D ∈ D.

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 31. Januar 2011 vor der Übung.