Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 11 17. Januar 2011

Auf diesem Blatt wollen wir einsehen, dass die K-Theorie einer kleinen exakten Kategorie A, wie wir sie über den Raum BQA definiert haben, isomorph zur K-Theorie der Waldhausenkategorie (A, co(A) = i(A)) ist, wobei i(A) die Kategorie der Isomorphismen von A sei. Als Referenz dient der Artikel von Waldhausen, “Algebraic K-Theory of Spaces”, Lecture Notes Mathematics 1126, 1985.

Aufgabe 1. (16 Punkte)

a) Sei C eine kleine Waldhausenkategorie, in der co(C) = i(C). Sei s_{n}C als Menge die Kategorie S_{n}C, sodass die Funktoren δ_{i}, s_{i} eine simpliziale Menge s.C definieren. Zeigen Sie, dass man eine Homotopieäquivalenz |s.C| → |iS.C| hat.

b) Zeigen Sie, dass ein Objekt A_{.} ∈ iS_{3}A einen Morphismus in QA von A_{12} nach A_{3} induziert.

c) Zeigen Sie, dass ein Objekt A_{.} ∈ iS_{5}A eine Sequenz A_{23} → A_{14} → A_{5} von Zeilenmorphismen in QA induziert.

d) Ist X eine simpliziale Menge, so ist die Segal Subdivision Sub(X) folgende simpliziale Menge: \underline{n} ↦ X_{2n−1}, und die Abbildungen ∂′_{i} : X_{2n+1} → X_{2n−1} bzw. σ′_{i} : X_{2n+1} → X_{2n+3} sind erklärt durch ∂_{i}∂_{2n+1−i} bzw. σ_{i}σ_{2n+1−i}, 0 ≤ i ≤ n. Man kann zeigen, dass, wenn X der Nerv einer Kategorie C ist, man eine Homotopieäquivalenz |Sub(X)| → |X| hat. Zeigen Sie, dass eine simpliziale Abbildung Sub(s.A) → NQA existiert, die damit eine Abbildung |iS.A| → BQA definiert.

e) Sei iQ_{n}A folgende Kategorie: Objekte sind Sequenzen A_{0} → … → A_{n} in QA, Morphismen sind die Isomorphismen. Zeigen Sie, dass iQ.A eine simpliziale Kategorie ist. Man hat eine Homotopieäquivalenz BQA → |iQ.A|.

f) Zeigen Sie, dass man für jedes n hat eine Äquivalenz Sub(iS_{n}A) ≅ iQ_{n}A, die eine Äquivalenz von simplizialen Kategorien Sub(iS_{.}A) ≅ iQ_{.}A induziert. Diese ist sogar eine Homotopieäquivalenz, da sie dies in jedem Grad ist.

g) Zeigen Sie, dass die Abbildung aus f) in folgendes Diagramm passt:

\xymatrix{|s.A| \ar[d]^{≅} & |Sub(s.A)| \ar[d]^{≅} \ar[l]_{≅} \ar[r] & BQA \ar[d]^{≅} \\ |iS.A| & |Sub(iS.A)| \ar[l]_{≅} \ar[r] & |iQ.A|} ,

d.h. |iS.A| → BQA ist eine Homotopieäquivalenz.

   Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 24. Januar 2011 vor der Übung.