Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 9 13. Dezember 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei Δ(n) : Δ^{op} → Set, \underline{m} ↦ Hom_{Δ}(\underline{m}, \underline{n}). Zeigen Sie: |Δ(n)| ≅ Δ_{n}, das Standard n-Simplex.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei G eine (diskrete) Gruppe, \underline{G} die in der Vorlesung definierte kleine Kategorie assoziiert zu G.

a) Wir wollen folgende Kategorie G̃ definieren: Objekte seien die Elemente von G, bezeichnet mit [g]. Morphismen HomG̃([g], [h]) bestehen aus einem eindeutigen Pfeil δ(g, h), sodass δ(g, h) ∘ δ(h, i) = δ(g, i). Zeigen Sie, dass somit tatsächlich eine Kategorie definiert wird und man einen Funktor G̃ → \underline{G}, [g] ↦ ∗, δ(g, h) ↦ hg^{−1} hat.

b) G operiere auf G̃ vermöge g([h]) = [hg^{−1}], i(δ(g, h)) = δ(gi^{−1}, hi^{−1}) sowie auf \underline{G} trivial. Zeigen Sie, dass G frei auf BG̃ operiert und man eine G-Abbildung BG̃ → B\underline{G} hat.

c) Wir nehmen an, dass wir BG̃/G ≅ B\underline{G} erkannt haben. Zeigen Sie, dass BG̃ zusammenziehbar ist und π_{1}(B\underline{G}) ≅ G, π_{i}(B\underline{G}) = 0, i ≠ 1 gilt.

Bemerkung: Mit c) kann man folgern, dass B\underline{G} der klassifizierende Raum von G ist.

Aufgabe 3. (8 Punkte) Sei S eine simpliziale Menge. Ein x ∈ S_{n} heisst degeneriert, falls x = s_{i}y für ein y und ein i. Zeigen Sie:

a) Jede Morphismus f : \underline{n} → \underline{m} in Δ lässt sich eindeutig schreiben als f = δ_{i_{1}} … δ_{i_{s}}σ_{j_{1}} … σ_{j_{t}} mit 0 ≤ i_{s} < … < i_{1} ≤ m, 0 ≤ j_{1} < … < j_{t} < n und n − t + s = m.

b) Jeder Punkt (σ_{n}, t_{n}) ∈ |S| ist äquivalent zu einem eindeutigen nicht-degenerierten Punkt.

c) |S| ist ein CW-Komplex, der je eine Zelle für jedes nicht-degenerierte n-Simplex von S hat (i.e. für (σ_{n}, t_{n}) ∈ |S| gilt: σ_{n} ist nicht-degeneriert und t_{n} ∈ Δ_{n}^{∘}).

d) Sei T eine weitere simpliziale Menge. Die Projektionen S × T → S, T induzieren eine Bijektion |S × T | → |S| × |T |, der ein Homöomorphismus ist, falls |S| × |T | ein CW-Komplex ist.

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 20. Dezember 2010 vor der Übung.