Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 8 6. Dezember 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei f : B → C eine Abbildung in Ch(A), der Kategorie der Kettenkomplexe einer abelschen Kategorie A. Der Abbildungskegel cyl(f) von f ist definiert als der Kettenkomplex

cyl(f)_{n} = B_{n} ⊕ B_{n−1} ⊕ C_{n}, d_{n}(b, b′, c) = (d(b) + b′, −d(b), d(c) − f(b′))

(wenn wir der Einfachheit halber annehmen, dass wir die Abbildungen durch “Elemente” beschreiben), wobei d jeweils das entsprechende Differential von B oder C ist. Man hat natürliche Morphismen α : C → cyl(f), c ↦ (0, 0, c) bzw. β : cyl(f) → C, (b, b′, c) ↦ f(b) + c. Zeigen Sie: α ist bzgl. β eine Homotopieäquivalenz, d.h. insbesondere induziert β die in der Vorlesung benutzte Quasi-Isomorphie.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei R ein Ring mit Eins und Ch^{b}(P (R)) ⊂ Ch_{perf}^{b}(R) die Kategorie der strict perfekten bzw. beschränkten perfekten Komplexe. Zeigen Sie, dass diese Inklusion die in der Vorlesung definierten Voraussetzungen des Approximationssatzes erfüllt, d.h. man hat K_{0}(R) ≅ K_{0}(Ch_{perf}(R)).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei C eine Waldhausen-Kategorie und E_{n}, n ∈ ℕ, folgenden Kategorie: Objekte sind Sequenzen von Kofaserungen in C

A : 0 = A_{0} ↣ A_{1} ↣ … ↣ A_{n},

Abbildungen sind die natürlichen Abbildungen dieser Sequenzen. Sei co(E) die Familie der Morphismen in E mit der folgenden Eigenschaft: Ist f : A → B, so ist jeder vertikale Pfeil in dem Diagramm von Kofasersequenzen

[figure: A_{j}/A_{i}; A_{k}/A_{i}; A_{k}/A_{j}; B_{j}/B_{i}; B_{k}/B_{i}; B_{k}/B_{j}]

eine Kofaserung in C. Sei zudem w(E) die Familie von Morphismen in E mit der folgenden Eigenschaft: Ist f : A → B, so ist jedes f_{i} : A_{i} → B_{i} eine schwache Äquivalenz in C. Zeigen Sie:

a) (E, co(E), w(E)) ist eine Waldhausen-Kategorie.

b) Man hat K_{0}(E_{n}) ≅ ⨁_{i=1}^{n} K_{0}(C).

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei K = ℝ, ℂ oder ℍ (Quaternionen) und m = 1 bzw. m = 2 bzw. m = 4 falls K = ℝ bzw. K = ℂ bzw. K = ℍ. Bezeichne D^{k} ≅ Δ_{k} die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im ℝ^{k} und Kℙ^{n} für n ∈ ℕ den projektiven Raum über K. Sei

f_{n} : D^{mn} → Kℙ^{n}, (z_{0}, …, z_{n−1}) ↦ (z_{0} : …: z_{n−1}, (1 − ∑_{i<n} z_{i}\overline{z}_{i})^{1/2}).

Zeigen Sie, dass (Kℙ^{k}, f_{k})_{0≤k≤n} eine CW -Zerlegung von Kℙ^{n} ist.

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 13. Dezember 2010 vor der Übung.