Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 7 29. November 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei R ein Ring mit Eins. Zeigen Sie: Der Zentralisator von E(R) in GL(R) ist trivial, d.h. das Zentrum von E(R) ist trivial.

Aufgabe 2. Sei R ein Ring mit Eins. Sei C_{n} die Untergruppe von ST(R), die von allen x_{in}(t), i ≠ n, t ∈ R, erzeugt ist. Zeigen Sie, dass die Abbildung C_{n} → ST(R) ⟶^{f} E(R) bijektiv ist. Hierbei ist f der in der Vorlesung definierte natürliche Morphismus x_{ij}(r) ↦ e_{ij}(r). Analog sei P_{n} die Untergruppe von ST_{n}(R), die von allen x_{in}(t), 1 ≤ i < n, t ∈ R, erzeugt ist. Zeigen Sie, dass die Abbildung P_{n} → ST_{n}(R) ⟶^{f_{n}} E_{n}(R) injektiv ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei R ein Ring mit Eins und I ≤ R ein Ideal sowie K_{1}(R, I) die relative K_{1}-Gruppe. Sei GL(I) := ker(GL(R) → GL(R/I)) sowie E(R, I) der kleinste Normalteiler von E(R), der alle e_{ij}(r) mit r ∈ I enthält. Zeigen Sie: K_{1}(R, I) ≅ GL(I)/E(R, I).

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei B eine Serre Unterkategorie einer abelschen Kategorie A. Sei Ch_{B}^{b}(A) die Waldhausen-Unter-kategorie von Ch^{b}(A) von beschränkten Komplexen C, sodass H_{i}(C) ∈ B für alle i. Zeigen Sie:

K_{0}B ≅ K_{0}Ch^{b}(B) ≅ K_{0}Ch_{B}^{b}(A).

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 6. Dezember 2010 vor der Übung.