Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 5 15. November 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei k ein Körper und J das Ideal von k[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}, …], das von X_{i}X_{j} erzeugt wird. Sei R = k[X_{1}, X_{2}, …]/J und I das Ideal in R, das vom Bild der X_{i} erzeugt wird. Zeigen Sie: K_{0}(mod_{fg}-R) = 0, K_{0}(mod_{fg}-R/I) = G_{0}(R/I) = ℤ.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei C ⊂ A eine exakte Kategorie einer kleinen abelschen Kategorie A. Zeigen Sie, dass eine exakte Unterkategorie C′ ⊂ A existiert mit Ĉ ≅ C′.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Eine exakte Kategorie (C, E) heisst spaltende exakte Kategorie, falls jede kurze exakte Sequenz in E isomorph zu einer Sequenz der Form

0 → B → B ⊕ D → D → 0

ist. Sei C eine kleine additive Kategorie und A = \underline{Ab}^{Cop} die abelsche Kategorie aller additiven kontravarianten Funktoren von C nach \underline{Ab}. Der Yoneda-Funktor

h : C → A, h(C) = Hom_{C}(−, C), h(f : C → D) = Hom_{C}(−, C) ⟶^{f∘−} Hom_{C}(−, D),

bettet C als volle Unterkategorie von A ein. Zeigen Sie, dass jedes Objekt von C in A ein projektives Objekt ist. Folgern Sie, dass C durch diese Einbettung eine spaltende exakte Kategorie ist.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei A eine kleine exakte oder abelsche Kategorie. Zeigen Sie: Ist [A_{1}] = [A_{2}] in K_{0}(A), so existieren kurze exakte Sequenzen

0 → C′ → C_{1} → C′′ → 0, 0 → C′ → C_{2} → C′′ → 0

in A mit A_{1} ⊕ C_{1} ≅ A_{2} ⊕ C_{2}.

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 22. November 2010 vor der Übung.