Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 4 8. November 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei R ein Ring mit Eins und I ⊂ R ein Ideal. Zeigen Sie:

a) Ist I ein Nildeal (d.h. jedes Element ist nilpotent) und sind P_{1}, P_{2} endlich erzeugbare und projektive R-Moduln mit P_{1}/I ≅ P_{2}/I, so folgt P_{1} ≅ P_{2}.

b) Ist I ein nilpotentes Ideal (d.h. es existiert ein n mit I^{n} = 0), so entsprechen die Isomorphieklassen von endlich erzeugbaren projektiven R-Moduln eineindeutig den Isomorphieklassen von endlich erzeugbaren projektiven R/I-Moduln.

Hinweis: Zeigen Sie, dass jedes Idempotente \overline{e} ∈ R/I das Bild eines Idempotenten e ∈ R ist, und dass jeder andere Lift von der Form ueu^{−1}, u ∈ 1 + I, ist. Wenden Sie dies auf den Ring M_{n}(R) an.

Aufgabe 2. (4 Punkte)

a) Sei M ein Monoid, der direkter Limes von abelschen Monoiden M_{i} ist. Zeigen Sie, dass M^{−1}M = \underrightarrow{lim}_{i} M_{i}^{−1}M_{i} in der Kategorie der abelschen Gruppen.

b) Sei R ein Ring mit Eins, der direkter Limes von Ringen R_{i} ist. Zeigen Sie, dass K_{0}(R) ≅ \underrightarrow{lim}_{i} K_{0}(R_{i}).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei A eine skelett-kleine abelsche Kategorie und B eine Serre Unterkategorie. Der in der Vorlesung angegebene Funktor T : A → A/B lässt sich auf Morphismen wie folgt beschreiben: Ist f : M → N in A, so hat man Γ := graph(f) ⊂ M × N. Dann ist T (f) die Klasse des Dachs M ← Γ → N, das durch die Projektionen M × N →^{p_{1}} M bzw. M × N →^{p_{2}} N induziert wird. Wir nehmen an, dass wir A/B als additive Kategorie und T : A → A/B als additiven Funktor erkannt haben.

a) Sei f ∈ Hom_{A}(M, N). Zeigen Sie: T (f) = 0 ⟺ Im(f) ∈ Ob(B), T (f) Monomorphismus ⟺ Ker(f) ∈ Ob(B), T (f) Epimorphismus ⟺ Coker(f) ∈ Ob(B).

b) Sei f ∈ Hom_{A}(M, N) und i : K → M der Kern von f sowie p : N → C der Cokern von f. Zeigen Sie: T (i) : T (K) → T (M) ist der Kern und T (p) : T (N) → T (C) der Cokern von f.

c) Zeigen Sie (unter der Annahme, dass wir A/B als abelsche Kategorie erkannt haben), dass T ein exakter Funktor ist.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei R ein Noetherscher Ring, S ⊂ R eine zentrale multiplikativ abgeschlossene Teilmenge sowie M(R) die Kategorie der endlich erzeugbaren R-Moduln und M_{S}(R) die Unterkategorie der der endlich erzeugbaren S-Torsionsmoduln. Zeigen Sie: M_{S}(R) ist eine Serre Unterkategorie und M(R)/M_{S}(R) ist äquivalent zur Kategorie M(S^{−1}R).

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 15. November 2010 vor der Übung.