Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 3 1. November 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei R ein Ring mit Eins. R heisst Direkter Summenring, falls ein R-Modulisomorphismus R ≅ R^{2} existiert. Mit R^{∞} := R^{(ℕ)} und E = End_{R}(R^{∞}) ist R^{∞} ein E-Linksmodul, und E kann mit unendlichen Matrizenring, dessen Spalten bis auf endlich viele gleich Null sind, identifiziert werden. Zudem sei C(R) ⊂ E der Untering der unendlichen Matrizen, dessen Spalten und Zeilen bis auf endlich viele gleich Null sind. Zeigen Sie:

a) Falls R^{∞} = V_{1} ⊕ V_{2} als R-Linksmoduln, so gilt E = I_{1} ⊕ I_{2} mit Rechtsidealn I_{i} = {f ∈ E| f(R^{∞}) ⊆ V_{i}}. Umgekehrt folgt aus E = I_{1} ⊕ I_{2} als E-Rechtsmodul, dass R^{∞} = V_{1} ⊕ V_{2} mit V_{i} = I_{i}R^{∞}. Folglich ist E ein Direkter Summenring.

b) C(R) ist ein Direkter Summenring.

c) K_{0}(E) = K_{0}(C(R)) = 0.

Aufgabe 2. (8 Punkte) Sei f : R → S ein Homomorphismus von Ringen mit Eins und I ⊂ R ein Ideal von R, sodass I isomorph auf ein Ideal in S abgebildet wird, d.h. man hat ein Pullback-Diagramm

\xymatrix{R \ar[r]^{f} \ar[d] & S \ar[d] \\ R/I \ar[r]^{\overline{f}} & S/I}

mit R = \{\overline{r}, s) ∈ (R/I) × S| \overline{f}(\overline{r}) = s mod I\}. Wir bezeichnen dieses Datum (R, S, I) als Milnor-Quadrat. Ist M_{1} ein S-Modul, M_{2} ein R/I-Modul und g : M_{2} ⊗_{R/I} S/I ≅ M_{1}/IM_{1} ein S/I-Modulisomorphismus, so sei M = (M_{1}, g, M_{2}), die Verklebung von M_{1} und M_{2} mittels g, der Kern der R-linearen Abbildung M_{1} × M_{2} → M_{1}/IM_{1}, (m_{1}, m_{2}) ↦ \overline{m}_{1} − g(\overline{f}(m_{2})). Im folgenden bezeichnen P_{i} bzw. Q_{i} endlich erzeugbare projektive Moduln über den jeweiligen Ringen. Zeigen Sie:

a) Ist g ∈ GL_{n}(S/I) das Bild einer Matrix von GL_{n}(S) oder GL_{n}(R/I), so ist der verklebte Modul P = (S^{n}, g, (R/I)^{n}) ein freier Modul.

b) (P_{1}, g, P_{2}) ⊕ (Q_{1}, h, Q_{2}) ≅ (P_{1} ⊕ Q_{1}, (\begin{matrix}g & 0 \\ 0 & h \end{matrix}) , P_{2} ⊕ Q_{2}).

c) Ist g ∈ GL_{n}(R) so gilt folgende Identität in GL_{2n}(R):

(\begin{matrix}g & 0 \\ 0 & g^{−1} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & g \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ −g^{−1} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & g \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

d) Ist g ∈ GL_{n}(S/I) und M der Modul, der durch Verkleben von S^{2n} und (R/I)^{2n} mit der Matrix

(\begin{matrix}g & 0 \\ 0 & g^{−1} \end{matrix}) entsteht, so gilt M ≅ R^{2n}.

Bitte wenden! e) Ist P_{1} ⊕ Q_{1} ≅ S^{n}, P_{2} ⊕ Q_{2} ≅ (R/I)^{n} und P_{1}/IP_{1} ≅ P_{2} ⊗ S/I sowie Q_{1}/IQ_{1} ≅ Q_{2} ⊗ S/I, so

sind die R-Moduln P bzw. Q, die durch Verkleben der P_{i} bzw. Q_{i} entstehen, endlich-erzeugbar und projektiv.

f) Ist P_{1} ⊕ Q_{1} ≅ S^{m} und P_{2} ⊕ Q_{2} ≅ (R/I)^{n} sowie g : P_{1}/IP_{1} ≅ P_{2} ⊗ S/I, so ist (Q_{1} ⊕ S^{n}) ⊗ S/I isomorph zu ((R/I)^{m} ⊕ Q_{1}) ⊗ S/I.

g) Ist P = (P_{1}, g, P_{2}), so gilt P ⊗_{R} S ≅ P_{1} und P/IP ≅ P_{2}.

h) Jeder endlich erzeubare und projektive Modul von R entsteht durch eine Verklebung wie in g).

Aufgabe 3. (4 Punkte)

a) Sei L →^{f} M_{1} × M_{2} →^{(g_{1},g_{2})} N eine exakte Sequenz von abelschen Monoiden (d.h. ist (x_{1}, x_{2}) ∈ M_{1} × M_{2} mit g_{1}(x_{1}) = g_{2}(x_{2}), so existiert l ∈ L mit f(l) = (x_{1}, x_{2})). Sei L cofinal in M_{1}, M_{2} und N. Zeigen Sie, dass man eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen

L^{−1}L → (M_{1}^{−1}M_{1} ⊕ M_{2}^{−1}M_{2}) → N^{−1}N

hat.

b) Sei (R, S, I) ein Milnor-Quadrat wie in Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass man eine exakte Sequenz

K_{0}(R) → K_{0}(S) ⊕ K_{0}(R/I) → K_{0}(S/I)

von abelschen Gruppen hat.

   Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 8. November 2010 bis zur Übung.