Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 2 22. Oktober 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei E → X ein n-dimensionales Vektorbündel. Zeigen Sie, dass E trivial ist genau dann, wenn n Schnitte s_{1}, …, s_{n} existieren, sodass s_{1}(x), …, s_{n}(x) linear unabhängig sind für jedes x ∈ X.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Seien n, k ∈ ℕ und S^{k} die k-Sphäre. Man hat eine Zerlegung S^{k} = D_{+}^{k} ∪ D_{−}^{k} in die obere und untere Hemisphäre mit D_{+}^{k} ∩ D_{−}^{k} ≅ S^{k−1}. Sei f : S^{k−1} → GL_{n}(ℂ) eine stetige Abbildung (in diesem Kontext “Clutching”-Funktion genannt) und

E_{f} := (D_{+}^{k} × ℂ^{n} ⨿ D_{−}^{k} × ℂ^{n})/∼,

wobei (x, v) ∈ ∂D_{−}^{k} × ℂ^{n} mit (x, f(x)(v)) ∈ ∂D_{+}^{k} × ℂ^{n} identifiziert wird.

a) Zeigen Sie, dass die natürliche Projektion E_{f} → S^{k} ein n-dimensionales Vektorbündel ist.

b) Seien f, g : S^{k−1} → GL_{n}(ℂ) homotop. Zeigen Sie, dass E_{f} isomorph zu E_{g} ist, d.h. man hat

eine Abbildung

Φ : [S^{k−1}, GL_{n}(ℂ)] → Vect_{ℂ}^{n}(S^{k}), f ↦ E_{f},

wobei [S^{k−1}, GL_{n}(ℂ)] die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen S^{k−1} → GL_{n}(ℂ) bezeichnet.

c) Zeigen Sie, dass Φ eine Bijektion ist (Hinweis: GL_{n}(ℂ) ist pfadzusammenhängend und die D_{±}^{k} sind kontrahierbar).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Seien f, g : S^{k−1} → GL_{n}(ℂ) Clutching-Funktionen. Unter fg sei die Clutching-Funktion, die durch punktweise Matrizenmultiplikation entsteht, verstanden. Zeigen Sie, dass man einen Isomorphismus E_{fg} ⊕ (S^{k} × ℂ^{n}) ≅ E_{f} ⊕ E_{g} hat.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei 𝕂 = ℝ oder ℂ. Zeigen Sie, dass die Projektion p : E_{n}(𝕂^{k}) → G_{n}(𝕂^{k}) für k ∈ ℕ ∪ {∞} des klassifizierenden Bündels über der Grassmann’schen tatsächlich ein Vektorbündel ist. Hierbei ist E_{n}(𝕂^{∞}) = ⋃_{k≥n} E_{n}(𝕂^{k}), analog für G_{n}(𝕂^{∞}).

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 29. Oktober 2010, in der Vorlesung.