Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische K-Theorie

Wintersemester 2010/2011

Aufgabenblatt 1 18. Oktober 2010

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum und E, F Vektorbündel über X. Beschreiben Sie, wie man mittels Verkleben die Vektorbündel E⊗F (Tensorprodukt) bzw. ∧^{i}E (i ≥ 0, i-te äußere Potenz) konstruieren kann.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum und E, F Vektorbündel über X. Zeigen Sie:

a) Hom_{VB}(E, F) = Γ(Hom(E, F)),

b) Iso(E, F) ⊂ Hom(E, F) ist offen.

Aufgabe 3. (8 Punkte) Sei G eine topologische Gruppe, die rechtsstetig auf einem topologischen Raum E operiert, sowie p : E → X eine stetige Abbildung. Wenn für E gilt:

i) Für e ∈ E, g ∈ G gilt p(eg) = p(e),

ii) Für alle x ∈ X existiert eine offene Umgebung U und ein G-Homöomorphismus φ : p^{−1}(U) → U × G, der eine lokale Trivialisierung von p über U mit typischer Faser G ist (G operiert hier auf p^{−1}(U) durch Einschränkung und auf U × G durch Rechtstranslation auf dem zweiten Faktor),

so nennt man E ein G-Prinzipalbündel.

a) Sei E ein G-Prinzipialbündel und F ein ein topologischer Raum mit linksstetiger G-Operation und E ×_{G} F = E × G/∼, wobei (e, f) ∼ (e′, f′) genau dann, wenn ein g ∈ G existiert mit (e, f)g := (eg, g^{−1}f) = (e′, f′). Zeigen Sie, dass die Projektion E × F → E eine lokal triviale Abbildung q : E ×_{G} F → X induziert, die man das zu p assoziierte Faserbündel mit typischer Faser F bezeichnet.

b) Sei q : V → X ein n-dimensionales Vektorbündel und G = GL_{n}(ℝ). Zeigen Sie, dass die Menge

E := ∐_{x∈X} Iso(ℝ^{n}, q^{−1}(x))

eine Struktur eines G-Prinzipalbündels hat, die einen Isomorphismus

E ×_{G} ℝ^{n} ≅ V

von Vektorraumbündeln induziert.

       Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/k-theorie

Abgabe bis spätestens 22. Oktober 2010, in der Vorlesung.