Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 13 25. Juni 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei X ein noethersches Schema, U ⊂ X offen affin. Zeige: Man hat K_{X}(U) = Q(O_{X}(U)), sowie K_{X,x} = Q(O_{X,x}) für jedes x ∈ X.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei X := Proj(k[X_{0}, …, X_{n}]/I) → ℙ_{k}^{n} eine projektive Varietät definiert durch ein homogenes Ideal I sowie F ∈ k[X_{0}, …, X_{n}] homogen vom Grad d mit F ∉ I. Beschreibe, wie man in natürlicher Weise zu F einen effektiven Cartier-Divisor D_{F} assoziieren kann, sodass das abgeschlossene Unterschema definiert durch (D_{F}, O_{D_{F}}) gerade das Schema ist, das zu F gehört.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei X ein Schema, Div(X) die Gruppe der Cartierdivisoren und Pic(X) die Gruppe der invertierbaren O_{X}-Moduln.

a) Zeige: ∼ wie in der Vorlesung definiert ist auf Div(X) eine Äquivalenzrelation, d.h. man hat eine Gruppe CaCl(X) der Isomorphieklassen von Cartierdivisoren modulo dieser Relation.

b) Sei X ein Schema, sodass K_{X} eine welke Garbe ist (dies gilt i.a. mit leichten Einschränkungen). Zeige in diesem Fall: CaCl(X) ≅ Pic(X).

Aufgabe 4. (3 Punkte) Sei (A, 𝔪) ein lokaler Noetherscher Ring sowie M ein endlich-erzeugbarer A-Modul. Zeige oder importiere aus Algebra 2:

a) M ist einfach genau dann, wenn M ≅ A/𝔪.

b) M ist von endlicher Länge genau dann, wenn ein r ≥ 1 existiert mit 𝔪^{r}M = 0.

c) Ist M von endlicher Länge, so gilt ln_{A}(M) = ∑_{i≥0} dim_{A/𝔪}(𝔪^{i}M/𝔪^{i+1}M).

d) Ist A eine Algebra über einem Körper k, so gilt ln_{A}(M) dim_{k} A/𝔪 = dim_{k} M.

Abgabe bis spätestens 2. Juli 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.