Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 12 18. Juni 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata. f heisst endlich, wenn eine offene affine Überdeckung U_{i} = Spec(A_{i}) existiert, sodass f^{−1}(U_{i}) = Spec(B_{i}) affin und B_{i} ein endlich-erzeugter A_{i}-Modul ist. Analog kann man (im Gegensatz zum vorigen Blatt) f als affin definieren, wenn eine offene affine Überdeckung U_{i} von Y existiert, sodass f^{−1}(U_{i}) affin ist. Zeige: Ist f affin (bzw. endlich) und U ⊂ Y eine offene affine Teilmenge, so ist f^{−1}(U) affin (bzw. endlich). Hinweis: Für f affin zeige: Man kann X zurückgewinnen aus der (quasikohärenten) Garbe f_{∗}O_{X}, indem man es für U ⊂ Y offen affin durch X_{U} = Spec(Γ(U, f_{∗}O_{X})) überdeckt. Für f endlich verwende Lemma 3.16 aus dem Skript.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata und F eine quasikohärente Garbe auf X. Zeige: Der Morphismus H^{p}(Y, f_{∗}F) → H^{p}(X, F), p ≥ 0 aus Aufgabe 2, Blatt 11, ist in den folgenden Fällen ein Isomorphismus:

a) X ist separiert und f ist affin.

b) f ist eine abgeschlossene Immersion.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata. Zeige:

a) Ist f eine abgeschlossene Immersion, so ist f endlich.

b) Sind X, Y noethersch und ist f endlich sowie F kohärent auf X, so ist f_{∗}F kohärent auf Y.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein projektiver Morphismus noetherscher Schemata und F ein kohärenter O_{X}-Modul. Zeige:

a) Für alle p ≥ 1 und n groß genug gilt R^{p}f_{∗}(F(n)) = 0

b) Ist 0 → F → G → H → 0 eine exakte Sequenz kohärenter Garben, so ist 0 → F(n) → G(n) → H(n) → 0 exakt.

c) Ist F → G → H eine exakte Sequenz von kohärenten Garben, so ist für n groß genug die Sequenz f_{∗}(F(n)) → f_{∗}(G(n)) → f_{∗}(H(n)) exakt.

Abgabe bis spätestens 25. Juni 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.