Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 11 10. Juni 2009

Generell: Schreibe S = ⨁_{n=0}^{∞} S_{n} und S_{+} = ⨁_{n=1}^{∞} S_{n} für einen graduierten Ring S.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Seien S, T graduierterte Ringe.

a) Sei ϕ : S → T ein Homomorphismus von graduierten Ringen, welcher die Graduierung respektiert. Sei U = {𝔭 ∈ Proj T| ϕ(S_{+}) ⊄ 𝔭}. Zeige: U ist eine offene Teilmenge von Proj T und ϕ legt in natürlicher Weise einen affinen (d.h. Urbilder offener affiner Mengen sind affin) Morphismus f : U → Proj S fest.

b) Sei ϕ : S → T ein surjektiver Homomorphismus von graduierten Ringen, der die Graduierung respektiert, U ⊂ Proj T wie in a). Zeige: U = Proj T, und der Morphismus f : Proj T → Proj S ist eine abgeschlossene Immersion.

Aufgabe 2. (3 Punkte) Sei X = Proj S und F eine quasikohärente Garbe auf X. Nach Vorlesung gilt F = M̃ mit M = Γ_{∗}(F) als graduiertem S-Modul. Zeige: M ist durch F nicht eindeutig bestimmt. Betrachte dafür die graduierten S-Moduln M = ⨁_{m∈ℤ} M_{m} sowie N = ⨁_{n≥n_{0}} M_{n} für ein n_{0} ∈ ℤ und zeige M̃ ≅ Ñ über X. Folgere, dass im allgemeinen verschiedene homogene Ideale von S dasselbe abgeschlossene Unterschema definieren können.

Aufgabe 3. (3 Punkte) Sei S ein graduierter Ring, sodass S von S_{1} als S_{0}-Algebra erzeugt wird sowie M, N graduierte S-Moduln. Zeige:

a) M ⊗_{S} N ist in natürlicher Weise ein graduierter S-Modul.

b) Man hat einen natürlichen funktoriellen Isomorphismus (M ⊗_{S} N)_{(f)} = M_{(f)} ⊗_{S_{(f)}} N_{(f)}.

c) Folgere die Isomorphie (M ⊗_{S} N)^{∼} ≅ M̃ ⊗_{O_{X}} Ñ.

Aufgabe 4. (6 Punkte) Sei X ein Schema, S = ⨁_{n=0}^{∞} S_{n} eine graduierte quasikohärente Garbe von O_{X}-Algebren, d.h. man hat (O_{X}-bilinear) S_{m} · S_{n} ⊂ S_{m+n} , wobei S_{0} = O_{X} gelten soll. Wir wollen das ’dicke Proj’ Proj S über X konstruieren. Zeige dazu:

a) Ist S ein graduierter Ring über einem Ring R mit S_{0} = R und φ : R → A ein Ringhomomorphismus sowie T = S ⊗_{R} A, so ist T ein graduierter Ring über A und es gilt Proj T = Proj S ×_{Spec(R)} Spec(A) (vgl. Aufgabe 1).

b) Für U = Spec(R) ⊂ X offen affin ist S(U) eine graduierte R-Algebra, d.h. man hat Morphismen π_{U} : Proj S(U) → U

c) Ist {U_{i}} eine offene affine Überdeckung von X mit Morphismen π_{U_{i}} : Proj S(U_{i}) → U_{i}, so existiert ein Schema Proj S durch Verkleben der Proj S(U_{i}) und man kann einen Morphismus π : Proj S → X durch Verkleben der π_{U_{i}} definieren.

d) Ist S := O_{X}[X_{0}, …, X_{n}], so ist S eine graduierte quasikohärente Garbe von O_{X}-Algebren und es gilt Proj S = ℙ_{X}^{n}.

Abgabe bis spätestens 18. Juni 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.