Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 10 4. Juni 2009

Aufgabe 1. (Welke Garben) (7 Punkte) Sei X ein topologischer Raum, F eine Garbe auf X. F heisst welk (fr: flasque, en: flabby), wenn für jedes Paar von offenen Teilmengen V ⊂ U die Restriktion F(U) → F(V) surjektiv ist. Sei U = (U_{i})_{i∈I} eine offene Überdeckung von X. Wir wollen H^{p+1}(U, F) = 0 für alle p ≥ 0 zeigen. Sei dazu I mit einer Totalordnung versehen mit i_{0} minimales Element sowie f ∈ Z^{p+1}(U, F) = ker d^{p+1}.

a) Für i ∈ I sei U_{i} die Überdeckung U_{i} ∩ U von U_{i}. Man hat C^{p}(U, F) = C^{p−1}(U_{i}, F|_{U_{i}} ) × ∏_{i′≠i} C^{p−1}(U_{i′}, F|_{U_{i′}} ), wobei C^{−1}(U_{i}, F|_{U_{i}} ) := F(U_{i}) (wie muss man das Differential d definieren, damit der Beweis im folgenden für p = 0 durchgeht?). Sei J ⊂ I mit i_{0} ∈ J. Sei (H_{J}) die folgende Hypothese:

(H_{J}) = \{ \begin{matrix}∃g_{i} = (g_{iα} )_{α∈I^{p}} ∈ C^{p−1}(U_{i}, F|_{U_{i}} ), i ∈ J, sodass \\ ∀i, j ∈ J, i < j, ∀α ∈ I^{p} : f_{ijα} = g_{jα} |_{U_{ijα}} − (dg_{i})_{jα} . \end{matrix}

Zeige: (H_{J}) ist erfüllt für J = {i_{0}}.

b) Es gelte (H_{J}). Sei k ∈ I mit k > i für alle i ∈ J. Zeige: Sind i, j ∈ J, i ≠ j, so gilt f_{ikα} +(dg_{i})_{kα} = f_{jkα} + (dg_{j})_{kα} auf U_{ijkα} . Es existiert ein h_{kα} ∈ F(⋃_{i∈J} U_{ikα} ) mit h_{kα} |_{U_{ikα}} = f_{ikα} + (dg_{i})_{kα} für alle i ∈ J. Folgere, dass (H_{J∪{k}}) wahr ist.

c) Zeige, dass (H_{I}) wahr ist (Zorns Lemma: man betrachte alle Paare (J, (g_{i})_{i∈J}), die (H_{J}) erfüllen, geordnet in kanonischer Weise). Folgere H^{p+1}(U, F) = 0.

Aufgabe 2. (2 Punkte) Sei f : X → Y ein Schemamorphismus und F eine Garbe auf X. Zeige: Man hat in natürlicher Weise einen Morphismus H^{p}(Y, f_{∗}F) → H^{p}(X, F) für alle p ≥ 0. Insbesondere hat man einen Morphismus H^{p}(Y, O_{Y}) → H^{p}(X, O_{X}) bzw. H^{p}(Y, O_{Y}^{×}) → H^{p}(X, O_{X}^{×}).

Aufgabe 3. (7 Punkte) Sei X ein Schema und O_{X}^{×} die Garbe von abelschen Gruppen U ↦ O_{X}(U)^{×}.

a) Sei L eine invertierbare Garbe auf X sowie U = (U_{i})_{i∈I} eine offene Überdeckung von X, sodass für i ∈ I gilt L|_{U_{i}} ≅ O_{X}|_{U_{i}} , d.h. erzeugt von einem Schnitt e_{i} ∈ L(U_{i}). Zeige: Es existieren f_{ij} ∈ O_{X}^{×}(U_{ij}), sodass (unter obiger Identifizierung) e_{i}|_{U_{ij}} = e_{j}|_{U_{ij}} f_{ij} für alle i, j. Sei f = (f_{ij})_{i,j} ∈ C^{′1}(U, O_{X}^{×}). Zeige, dass f ∈ Z^{1}(U, O_{X}^{×}), dass das Bild von f in H^{1}(U, O_{X}^{×}) unabhängig von der Wahl der e_{i} ist und dass das Bild ϕ(L) von f in H^{1}(X, O_{X}^{×}) unabhängig von der Wahl von U ist.

b) Zeige: ϕ(L) = 1 genau dann, wenn L frei ist.

c) Zeige, dass die Abbildung L ↦ ϕ(L) ein Isomorphismus Pic(X) ≅ H^{1}(X, O_{X}^{×}) ist.

d) Ist g : X → Y ein Schemamorphismus, so wird einerseits durch L ↦ g^{∗}L ein Morphismus g_{1} : Pic(Y) → Pic(X) induziert; andererseits hat man den Morphismus g_{2} : H^{p}(Y, O_{Y}^{×}) → H^{p}(X, O_{X}^{×}) (vgl. Aufgabe 2). Zeige die Kommutativität des folgenden Diagramms:

\xymatrix{Pic(Y) \ar[r]^{g_{1}} \ar[d]^{≅} & Pic(X) \ar[d]^{≅} \\ H^{1}(Y, O_{Y}^{×}) \ar[r]^{g_{2}} & H^{1}(X, O_{X}^{×}).}

Abgabe bis spätestens 11. Juni 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.