Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 9 28. Mai 2009

Aufgabe 1. (12 Punkte)

Sei X ein topologischer Raum, U = {U_{i}}_{i∈I} eine offene Überdeckung von X, A ein kommutativer Ring und F eine Garbe von A-Moduln auf X.Wir wollen zeigen, dass die Komplexe (C^{•}(U, F), d) und (C^{′•}(U, F), d) (alternierende Koketten) quasi-isomorph bzgl. der Inklusion i : C^{′•}(U, F) → C^{•}(U, F) sind, d.h. H^{n}(C^{′•}(U, F)) ≅ H^{n}(C^{•}(U, F)) für alle n gilt. Sei K_{p}(I) (p ≥ 0) die freie abelsche Gruppe, die von Simplizes s = (i_{0}, …, i_{p}) ∈ I^{p+1} generiert wird. Für ein beliebiges s sei |s| := {i_{0}, …, i_{p}} ⊂ I. Eine Gruppenhomomorphismus h_{p,q} : K_{p}(I) → K_{q}(I) heisst simplizialer Morphismus, wenn für alle Simplizes s in K_{p}(I) gilt h_{p,q} (s) = ∑_{s′} c(s)_{s′} · s′ mit c(s)_{s′} ∈ ℤ und s′ Simplizes in K_{q}(I) sind mit |s′| ⊂ |s|. Jedes solche h_{p,q} induziert einen Morphismus

th_{p,q} : C^{q}(U, F) → C^{p}(U, F), f ↦ ^{t}hf mit (^{t}hf)_{s} = ∑_{s′}c(s)_{s′} · f_{s′}|_{U_{s}} .

a) Finde zum Einstieg den simplizialen Morphismus ∂_{p} : K_{p+1}(I) → K_{p}(I) mit ∂_{p} ∘ ∂_{p+1} = 0, der mit ^{t}∂_{p} = d^{p} : C^{p}(U, F) → C^{p+1}(U, F) das in der Vorlesung definierte Differential induziert.

b) Zeige folgende Formeln (h_{1}, h_{2} simpliziale Morphismen): ^{t}(h_{1} + h_{2}) = ^{t}h_{1} +^{t}h_{2}, ^{t}(h_{1} ∘ h_{2}) = th_{2} ∘^{t}h_{1}, ^{t}id = id.

c) Seien M = (M^{•}, d), N = (N^{•}, d′) Kokettenkomplexe in A-Mod (d.h. d_{n} ∘ d_{n−1} = 0 resp. für d′) und f, g : M → N Morphismen von Kokettenkomplexen (d.h. f^{n+1} ∘ d^{n} = d^{′n} ∘ f^{n} resp. für g), so heisst eine Familie von Morphismen k^{n} : M^{n} → N^{n−1} eine Kokettenhomotopie (für f, g, schreibe f ∼ g), wenn gilt: f^{n} − g^{n} = d^{′n−1} ∘ k^{n} + k^{n+1} ∘ d^{n} (dual für Kettenkomplexe, d.h. die Pfeile d, k gehen in die andere Richtung). Zeige: Ist f ∼ g, so gilt H^{n}(f) = H^{n}(g) : H^{n}(M) → H^{n}(N).

d) Ein Morphismus von Kettenkomplexen f : M → N ist eine Homotopieäquivalenz, wenn ein Morphismus f′ : N → M existiert mit f ∘ f′ ∼ id bzw. f′ ∘ f ∼ id. Zeige: Ist f : M → N eine Homotopieäquivalenz, so gilt H^{n}(f) : H^{n}(M) →^{∼} H^{n}(N).

e) Sei I mit einer Totalordnung versehen und h_{q,q} = h_{q} : K_{q}(I) → K_{q}(I) definiert als:

h_{q}((i_{0}, …, i_{q})) = \{ \begin{matrix}0, & falls zwei Indizes i_{j} gleich sind, \\ sgn(σ)(i_{σ0}, …i_{σq} ), & sonst mit σ die Permutation der i_{j}, \\ & sodass i_{σ0} < i_{σ1} < … < i_{σq} . \end{matrix}

Zeige: Die h_{q} sind simpliziale Morphismen, h definiert einen Morphismus K_{•}(I) → K_{•}(I) von Kettenkomplexen, es gilt h_{0} = id und ^{t}h_{q} ist eine Projektion von C^{q}(U, F) auf C^{′q}(U, F).

f) Zeige: Es existiert ein simplizialer Morphismus k_{q} : K_{q}(I) → K_{q+1}(I), mit id − h = ∂ ∘ k + k ∘ ∂ (führe den Nachweis nur für q = 0, 1; Rest vgl. Übung; die Indizes werden der einfacheren Schreibweise wegen ab hier weggelassen).

g) Folgere schliesslich: Man hat in C^{q}(U, F):

id −^{t}h = ^{t}k ∘ d + d ∘^{t}k,

d.h. man erhält insgesamt die Isomorphie H^{n}(C^{′•}(U, F)) ≅ H^{n}(C^{•}(U, F)).

Bitte wenden!

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei V = {V_{j}}_{j∈J} eine Verfeinerung einer Überdeckung von U = {U_{i}}_{i∈I} mit zugehörigem σ : J → I und induziertem σ^{∗} : H^{p}(U, F) → H^{p}(V, F). Zeige im Fall p = 1: σ^{∗} hängt nicht von der Wahl von σ ab.

Abgabe bis spätestens 4. Juni 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.