Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 8 20. Mai 2009

Aufgabe 1. (8 Punkte) Sei f : X → Y ein Morphismus (X, Y lokal noethersch) von endlichem Typ und x ∈ X sowie y = f(x). Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) f ist unverzweigt in x.

b) X_{y} = X ×_{Y} Spec(κ(y)) → κ(y) ist unverzweigt in x.

c) x hat in X_{y} eine Umgebung Spec(A), wobei A ein endliches Produkt von endlichen seperablen Körpererweiterungen von κ(y) ist.

d) x ist isoliert in X_{y} und der Ring O_{X_{y} ,x} ist ein Körper sowie eine seperable Erweiterung von κ(y).

Hinweis: Man erinnere sich an die Beschreibung endlicher diskreter Schemata. Es darf ohne Beweis benutzt werden: Ist A/k eine artinsche endlich erzeugte k-Algebra (k Körper), so hat A als k-Modul endlichen Rang.

Aufgabe 2. (8 Punkte) Sei k ein Körper, X ein k-Schema von endlichem Typ sowie x ∈ X. Zeige mit Hilfe von Aufgabe 4 des letzten Blatts: X ist glatt in x ⟺ Ω_{X,x}^{1} frei von Rang dim_{x} X (bei “⇐” soll man den Nachweis der Einfachheit halber nur für den Fall, dass x ein abgeschlossen Punkt ist, führen). Folgere für X irreduzibel: X ist glatt ⟺ Ω_{X/k}^{1} ist eine lokal-freie Garbe von Rang dim X.

Abgabe bis spätestens 28. Mai 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.