Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 7 14. April 2009

Aufgabe 1. (Serres Dévissage) (4 Punkte) Sei (X, O_{X}) ein geringter Raum. Zeige:

a) Jede O_{X}-Untergarbe von endlichem Typ einer kohärenten Garbe auf X ist kohärent.

b) Ist 0 → F → G → H → 0 eine exakte Sequenz von O_{X}-Moduln und sind zwei der dort auftretenden Garben kohärent, so auch die dritte. (führe den Nachweis für einen der drei Fälle (G, H kohärent ⇒ F kohärent geht am einfachsten); die Aussage darf ab c) für alle Fälle als bewiesen angenommen werden).

c) Direkte Summen einer endlichen Familie von kohärenten Garben sind kohärent.

d) Ist φ : F → G ein Morphismus kohärenter Garben, so sind ker(φ), coker(φ) und im(φ) ebenfalls kohärent.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein flacher Schemamorphismus. Zeige:

a) Für alle x ∈ X, y = f(x) ist der von f induzierte Morphismus Spec(O_{X,x}) → Spec(O_{Y,y}) surjektiv.

b) Für jede irreduzible Komponente T von X ist \overline{f(T)} ebenfalls eine irreduzible Komponente.

c) Ist Y irreduzibel, η ∈ Y der generische Punkt und f^{−1}(η) irreduzibel, so ist X irreduzibel.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei M ein A-Modul, X = Spec(A) = ⋃ D(f_{i}) eine endliche offene Überdeckung, sodass M_{f_{i}} ein A_{f_{i}} - Modul von endlicher Präsentation ist. Zeige, dass dann M ein A-Modul von endlicher Präsentation ist (vgl. Lemma 3.16 im Skript).

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei F eine kohärente Garbe auf einem lokal-noetherschen Schema X. Sei

ϕ(x) = dim_{κ(x)}(F_{x} ⊗_{O_{X,x}} κ(x)), x ∈ X.

a) Sei n ∈ ℕ. Zeige: {x ∈ X| ϕ(x) ≤ n} ist offen in X (Nakayama + e.g. Aufgabe 4a, Blatt 5). Insbesondere gilt, falls X irreduzibel und ξ der generische Punkt ist, dass ϕ(ξ) ≤ ϕ(x) für alle x ∈ X.

b) Sei A ein Ring und α : A^{n} → M ein Morphismus von A-Moduln. Sei für beliebiges 𝔭 ∈ Spec(A) der Homomorphismus

α ⊗ Id_{κ(𝔭)} : κ(𝔭)^{n} → M_{𝔭} ⊗_{A_{𝔭}} κ(𝔭), (κ(𝔭) = A_{𝔭}/𝔭A_{𝔭})

injektiv. Zeige, dass dann ker(α) ⊆ Nil(A)^{n} gilt.

c) Sei ϕ(x) = n konstant für alle x ∈ X und X reduziert. Zeige, dass dann F lokal-frei von Rang n ist.

Abgabe bis spätestens 20. April 2009, 19:00 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.