Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 6 7. Mai 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei X ein Schema und f ∈ O_{X}(X). Zeige:

a) U ↦ f|_{U}O_{X}(U) für alle affinen offenen U definiert eine O_{X}-Idealgarbe, bezeichnet mit fO_{X}.

b) fO_{X} ist endlich-erzeugt und quasi-kohärent.

c) fO_{X} ist im allgemeinen keine invertierbare Garbe (Kriterium für Invertierbarkeit?).

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei X ein Schema und A eine quasi-kohärente O_{X}-Algebra. Zeige: Ein A-Modul F ist quasi-kohärent (auf dem geringten Raum (X, A)) genau dann, wenn F als O_{X}-Modul quasi-kohärent ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Seien X, Y S-Schemata, F ein quasi-kohärenter O_{X}-Modul, G ein quasi-kohärenter O_{Y}-Modul sowie p, q die Projektionen von X ×_{S} Y auf X bzw. Y. Bezeichne F ⊗_{S} G das Tensorprodukt p^{∗}(F) ⊗_{O_{X×_{S} Y}} q^{∗}(G) auf X ×_{S} Y. Zeige:

a) Sind S, X, Y affin (mit Ringen A, B, C) und F = M̃, G = Ñ (M B-Modul, N C-Modul), so ist F ⊗_{S} G kanonisch isomorph zur Garbe assoziiert zum (B ⊗_{A} C)-Modul M ⊗_{A} N.

b) Sind f : T → X, g : T → Y weitere S-Morphismen, so gilt (f, g)_{S}^{∗}(F ⊗_{S} G) = f^{∗}(F) ⊗_{T} g^{∗}(G).

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei das Schema X = ∐_{p} Spec(𝔽_{p}) gegeben (p durchläuft alle Primzahlen), d.h. die disjunkte Vereinigung von Schemata Spec(𝔽_{p}), wobei die Strukturgarbe in natürlicher Weise gegeben ist. Sei f : X → Spec(ℤ) der kanonische Morphismus, dessen Einschränkung f|_{Spec(𝔽_{p})} : Spec(𝔽_{p}) → Spec(ℤ) entspricht. Zeige: f_{∗}O_{X} ist nicht quasi-kohärent.

Abgabe bis spätestens 14. Mai 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.