Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 5 30. April 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Ein Schemamorphismus f : Y → X heisst Vektorbündel (von Rang n), wenn gilt:

a) Es gibt eine offene Überdeckung {U_{i}} von X, sodass ein Isomorphismus φ_{i} : f^{−1}(U_{i}) ≅ 𝔸_{U_{i}}^{n} für alle i existiert;

b) Ist U_{i} ∩U_{j} ≠ ∅, so ist für ein beliebiges affines V = Spec(R) ⊂ U_{i} ∩U_{j} der Isomorphismus φ_{ij} = φ_{i} ∘ φ_{j}^{−1}|_{𝔸_{V}^{n}} : 𝔸_{V}^{n} → 𝔸_{V}^{n} induziert von einem linearen Automorphismus θ_{ij} : R[X_{1}, …, X_{n}] → R[X_{1}, …, X_{n}], θ_{ij}(X_{k}) = ∑ a_{kl}X_{l}, a_{kl} ∈ R.

Sei f ein Vektorbündel von Rang n und für U ⊂ X offen

F(U) = {s : U → Y Morphismus| f ∘ s = id_{U}}.

Zeige: F ist ein lokal-freier O_{X}-Modul von Rang n.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Zeige: Eine Sequenz

F′ → F → F′′ → 0

von O_{X}-Moduln ist exakt genau dann, wenn für alle offenen U ⊆ X und alle O_{U}-Moduln G die Sequenz

0 → Hom_{O_{U}} (F′′|_{U}, G) → Hom_{O_{U}} (F|_{U}, G) → Hom_{O_{U}} (F′|_{U}, G)

exakt ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte)

a) Finde ein Beispiel eines (von O_{X}-Moduln F_{i} induzierten) O_{X,x}-Homomorphismus (∏_{i∈I} F_{i})_{x} → ∏_{i∈I} F_{i,x}, der kein Isomorphismus ist.

b) Finde ein Beispiel einer Familie (F_{i}) von O_{X}-Moduln, sodass die Prägarbe U ↦ ⨁_{i} F_{i}(U) keine Garbe ist.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei (X, O_{X}) ein geringter Raum und x ∈ X sowie w : G → F ein Morphismus von O_{X}-Moduln. Sei weiterhin F von endlichem Typ, d.h. es existiert eine exakte Sequenz O^{n} → F → 0. Zeige:

a) Ist w_{x} : G_{x} → F_{x} surjektiv, so existiert eine offene Umgebung U von x, sodass w|_{U} surjektiv ist.

b) Ist w_{x} = 0, so existiert eine offene Umgebung U von x, sodass w|_{U} = 0 gilt.

Abgabe bis spätestens 7. Mai 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.