Nochmal die Aufgabe mit der Definition eines Vektorbündels:

Aufgabe 1. Ein Schemamorphismus f : Y → X heisst Vektorbündel (von Rang n), wenn gilt:

a) Es gibt eine offene Überdeckung {U_{i}} von X, sodass ein Isomorphismus φ_{i} : f^{−1}(U_{i}) ≅ 𝔸_{U_{i}}^{n} für alle i existiert;

b) Ist U_{i} ∩U_{j} ≠ ∅, so ist für ein beliebiges affines V = Spec(R) ⊂ U_{i} ∩U_{j} der Isomorphismus φ_{ij} = φ_{i} ∘ φ_{j}^{−1}|_{𝔸_{V}^{n}} : 𝔸_{V}^{n} → 𝔸_{V}^{n} induziert von einem linearen Automorphismus θ_{ij} : R[X_{1}, …, X_{n}] → R[X_{1}, …, X_{n}], θ_{ij}(X_{k}) = ∑ a_{kl}X_{l}, a_{kl} ∈ R.

Sei f ein Vektorbündel von Rang n und für U ⊂ X offen

F(U) = {s : U → Y Morphismus| f ∘ s = id_{U}}.

Zeige: F ist ein lokal-freier O_{X}-Modul von Rang n.

Bei der Definition wird etwas zu implizit gefordert, dass man für offene (affine) U ⊆ U_{i} für ein i die Isomorphie f^{−1}(U) ≅ 𝔸_{U}^{n} hat, d.h. man fordert eine Kommutativität von

\xymatrix{Spec(ℤ[X]) ×_{ℤ} U_{i} \ar[r]^{p_{2}} \ar[d]^{≅} & U_{i} \ar@{^{(}->}[d] \\ f^{−1}(U_{i}) \ar[r]^{f} & X}

Dies entspricht dann auch schon eher dem “klassischen Fall” von Vektorbündeln auf Mannigfaltigkeiten. Dummerweise wird das aus der obigen Definition so nicht klar, da die Isomorphismen für die U_{i} ja zunächst beliebig gegeben sein können.