Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 4 23. April 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei X ein Schema und Z eine abgeschlossene Teilmenge von X. Zeige: Für alle x ∈ X gilt codim(\overline{\{x\}}, X) = dim O_{X,x}, sowie codim(Z, X) = min_{z∈Z} dim O_{X,z}.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein abgeschlossener Morphismus von Schemata. Zeige:

a) Ist f surjektiv, so gilt dim X ≥ dim Y.

b) Ist f injektiv, so gilt dim X ≤ dim Y.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Zeige:

a) Sei n ∈ ℕ. Dann ist {x ∈ X| dim_{x} X ≤ n} offen in X.

b) Ist x ∈ U eine offene Umgebung von x, so gilt dim_{x} U = dim_{x} X.

c) Ist X ein k-Schema (k Körper) lokal von endlichem Typ und I die Menge der irreduziblen Komponenten von X, die x enthalten, so gilt dim_{x} X = sup_{Z∈I} dim Z. Ist x ein abgeschlossener Punkt, so gilt dim_{x} X = dim O_{X,x}.

d) Ist X = Spec(A) für einen diskreten Bewertungsring A, so gilt eine der Gleichheiten in c) für dieses X in diesem Fall nicht.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei k ein Körper.

a) Sei X = Spec(k[x, y, z]/I) mit I = (x^{3} − yz, y^{2} − xz, z^{2} − x^{2}y). Bestimme dim X.

b) Gib ein Beispiel für ein reduzibles k-Schema X von endlichem Typ über k und eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge Y ⊂ X mit codim_{X}Y + dim Y < dim X an.

Abgabe bis spätestens 30. April 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.