Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 3 16. April 2009

Generalvoraussetzung: (R, 𝔪) = lokaler Ring.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei R noethersch und M ≠ 0 ein endlich-erzeugbarer R-Modul sowie

δ(M) := inf{n ∈ ℕ| ∃x_{1}, …, x_{n} ∈ 𝔪 : l_{A}(M/(x_{1}M + … + x_{n}M)) < ∞}.

Zeige:

a) Ist x ∈ 𝔪, so gilt δ(M/xM) ≥ δ(M) − 1.

b) Sind x_{1}, …, x_{n} ∈ 𝔪 und ist \overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n} (\overline{x}_{i} = x_{i}+𝔪^{2}) eine Basis von 𝔪/𝔪^{2} als R/𝔪-Vektorraum, so ist so ist x_{1}, …, x_{n} ein minimales Erzeugendensystem von 𝔪.

c) Ist R regulär und x ∈ 𝔪 − 𝔪^{2}, so ist R/(x) regulär und es gilt dim R/(x) = dim R − 1.

Hinweis: Aus der Algebra 2 ist bekannt: l_{A}(M) < ∞ ⟺ dim_{A} M = 0.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei R regulär. Zeige, dass R integer ist mit Hilfe folgender Schritte:

a) Unterscheide dim R = 0 und dim R > 0.

b) Sei ab jetzt dim R > 0. Dann existiert ein x ∈ 𝔪 − 𝔪^{2}, sodass R/(x) (mit Induktion) integer ist.

c) Angenommen, R wäre nicht integer. Sind {℘_{1}, …, ℘_{r}} die minimalen Primideale von R, so folgt mit obigem x, dass x℘_{j} = ℘_{j} für ein j gilt. Dies führt zu einem Widerspruch.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei R noethersch und integer (dies ist im folgenden wegen Aufgabe 2 keine Einschränkung) mit dim R = 1. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) R ist ein diskreter Bewertungsring.

b) R ist ganzabgeschlossen.

c) R ist regulär.

d) 𝔪 ist ein Hauptideal.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Seien K ⊆ L zwei Funktionenkörper, seperabel über einem Körper k. Zeige: Die kanonische Abbildung Ω_{K/k}^{1} ⊗_{K} L → Ω_{L/k}^{1} ist injektiv genau dann, wenn L/K seperabel ist.

Abgabe bis spätestens 23. April 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.