Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 2 9. April 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei A ein kommutativer Ring mit 1 und B ein A-Modul. Sei ρ : B⊗_{A}B → B die Diagonale ρ(b_{1}⊗b_{2}) = b_{1}b_{2} sowie I = ker(ρ). B ⊗_{A} B (und somit I/I^{2}) ist via b · (b_{1} ⊗ b_{2}) = b_{1} ⊗ bb_{2} in natürlicher Weise ein B-Modul. Sei

d : B → I/I^{2}, db = b ⊗ 1 − 1 ⊗ b.

Zeige:

a) d ist eine A-Derivation.

b) Der B-Modul I/I^{2} erfüllt mit der Derivation d die universelle Eigenschaft des Differentialmoduls, d.h. I/I^{2} ≅ Ω_{B/A}^{1}.

Aufgabe 2. (3 Punkte) Sei A = ℝ und B = C^{∞}(U) der Ring der unendlich-oft differenzierbaren Funktionen auf einem offenen Intervall U ⊂ A. Leite unter Verwendung von Aufgabe 1 formal die Gleichung df = f′(x)dx (x Koordinate von U) für f ∈ C^{∞}(U) her.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei A ein kommutativer Ring mit 1. Zeige:

a) Ω_{A[[T]]/A}^{1} ist i.a. nicht endlich-erzeugbar über A[[T]].

b) Man hat mit φ(dF(T)) = F′(T)dT eine exakte Sequenz

0 → ⋂_{n≥1} T^{n}Ω_{A[[T]]/A}^{1} → Ω_{A[[T]]/A}^{1} →^{φ} A[[T]]dT.

Aufgabe 4. (5 Punkte) Sei A ein kommutativer Ring mit 1 und M, N A-Moduln mit Filtrierungen F : M = M_{0} ⊃ M_{1} ⊃ …, F′ : N = N_{0} ⊃ N_{1} ⊃ . . .. Sei f : M → N ein Homomorphismus, der f(M_{n}) ⊆ N_{n} erfüllt, d.h. f induziert einen Homomorphismus

gr(f) : ⨁_{i≥0}M_{i}/M_{i+1} → ⨁_{i≥0}N_{i}/N_{i+1}.

Zeige:

a) Wenn gr(f) injektiv ist und ⋂ M_{i} = 0 gilt, so ist f injektiv.

b) Wenn gr(f) surjektiv, M komplett bzgl. F und ⋂ N_{i} = 0 ist, so ist f surjektiv und N komplett bzgl. F′.

c) Ist M = N = R[[X_{1}, …, X_{n}]], I = (X_{1}, …, X_{n}), F = F′ : M =: I^{0} ⊃ I^{1} ⊃ …, und f : M → N ein R-Algebrenmorphismus, so ist f ein Isomorphismus genau dann, wenn gr(f) einer ist.

Hinweis: Es darf die aus der Algebra 2 bekannte Tatsache benutzt werden, dass R[[X_{1}, …, X_{n}]] die Komplettierung von R[X_{1}, …, X_{n}] bzgl. I (als Ideal in R[X_{1}, …, X_{n}]) ist.

Abgabe bis spätestens 16. April 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.