Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie II

Sommersemester 2009

Aufgabenblatt 1 2. April 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Zeige mit Hilfe der Segre-Einbettung, dass die Komposition zweier projektiver Morphismen projektiv ist.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und V ein affines k-Schema von endlichem Typ der Dimension 1 (kurz gesagt, eine Kurve), d.h. V = Spec(k[X, Y]/f(X, Y)) für ein nicht-konstantes Polynom, wobei noch gefordert sei, dass f keine mehrfachen Faktoren enthalte. Entscheide für folgende f an allen Punkten, ob V dort glatt von relativer Dimension 1 ist oder nicht:

a) f = X^{n} + Y^{n} − 1,

b) f = Y^{2} − X^{2}(X + 1),

c) f = Y^{2} − X^{3} − aX − b,

d) f = F · G mit teilerfremden F, G ∈ k[X, Y].

Hinweis: Man darf annehmen, dass die Definition der Glattheit unabhängig von der offenen Einbettung ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei k ein Körper und x = (x_{0} : …: x_{n}) ∈ ℙ_{k}^{n}(k) ein k-rationaler Punkt. Zeige: Man hat auf kanonische Weise T_{x}ℙ_{k}^{n} = k^{n+1}/k · (x_{0} : …: x_{n}). Hinweis: Man benutze den Morphismus 𝔸_{k}^{n+1} \ {0} → ℙ_{k}^{n}.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei k ein Körper und f : X → S, g : Y → S Morphismen von k-Schemata. Seien x ∈ X(k), y ∈ Y(k), sodass deren Bilder in S(k) identisch sind, d.h. man hat einen k-wertigen Punkt (x, y)_{S} ∈ (X×_{S}Y)(k). Zeige:

T_{(x,y)_{S}} (X ×_{S} Y) = {(t, u) ∈ T_{x}X × T_{y}Y| df_{x}(t) = dg_{y}(u)}.

Abgabe bis spätestens 9. April 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.