Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 14 22. Januar 2009

Aufgabe 1. Sei S′ → S ein Morphismus von Schemata und X ein S-Schema. Man kann X via Hom_{S}(−, X) als Funktor (Sch/S)^{Opp} → (Sets) auffassen. Sei X′ : (Sch/S′)^{Opp} → (Sets) die Einschränkung von X auf (Sch/S′)^{Opp} → (Sets), d.h. X′(T → S′) := X(T → S′ → S). Zeige: X′ wird durch X ×_{S} S′ dargestellt.

Aufgabe 2. Zu einem Schema X bezeichne |X| den zugrundeliegenden topologischen Raum. Sei S ein Schema und π : X → S, ρ : Y → S Morphismen von S-Schemata. Sei X ×_{S} Y das Faserprodukt in der Kategorie der S-Schemata und |X| ×_{|S|} |Y| das Faserprodukt (als Mengen) versehen mit der Produkttopologie.

a) Zeige: Man hat eine kanonische stetige surjektive Abbildung f : |X ×_{S} Y| → |X| ×_{|S|} |Y|.

b) Sei X = Y = Spec(ℂ) und S = Spec(ℝ). Zeige: X ×_{S} Y ≅ Spec(ℂ ⊕ ℂ) und f (wie oben) ist nicht injektiv.

c) Sei S = Spec(k) für einen Körper k und X = Y = 𝔸_{k}^{1}. Zeige: f ist in diesem Fall keine offene Abbildung.

Aufgabe 3. Sei S ein Schema und (X_{i}), (Y_{j}) Familien von S-Schemata. Zeige:

(∐ X_{i}) ×_{S} (∐ Y_{j}) = ∐(X_{i} ×_{S} Y_{j}).

Aufgabe 4. Sei 0 ≠ m ∈ ℤ und X = Spec(ℤ[T_{1}, T_{2}]/(T_{1}T_{2}^{2} − m)), wobei man den kanonischen Morphismus f : X → Spec(ℤ) hat. Bestimme alle Fasern von f. Welche Fasern sind integer, welche reduzibel, und wieviele irreduzible Komponenten gibt es dort?

Aufgabe 5. Sei k ein Körper und f : 𝔸_{k}^{1} → Spec(k) der Strukturmorphismus. Zeige: f ist abgeschlossen, aber die durch den Basiswechsel induzierte Abbildung f_{(𝔸_{k}^{1})} : 𝔸_{k}^{2} → 𝔸_{k}^{1} ist nicht abgeschlossen.

Keine Abgabe.