Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 13 15. Januar 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata. Wir sagen: f sei surjektiv genau dann, wenn die zu f gehörige Abbildung topologischer Räume surjektiv ist.

a) Zeige: Ist f eine Immersion, so ist f ein Monomorphismus in der Kategorie der Schemata (d.h. f ∘ g = f ∘ h ⇒ g = h ∀g, h).

b) Wenn f ein Epimorphismus in der Kategorie der Schemata ist (d.h. g∘f = h∘f ⇒ g = h ∀g, h), ist f dann auch surjektiv? Umkehrung?

Aufgabe 2. (4 Punkte) Zeige: Ein Morphismus f : X → Y von Schemata ist surjektiv genau dann, wenn für jeden Körper K und jeden Morphismus Spec(K) → Y eine Erweiterung K′/K und ein Morphismus Spec(K′) → X existiert, sodass

\xymatrix{Spec(K′) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^{f} \\ Spec(K) \ar[r] & Y}

kommutiert.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata und f_{red} : X_{red} → Y_{red} der zugehörige Morphismus reduzierter Schemata. Zeige: Ist f surjektiv (bzw. eine Immersion), so ist auch f_{red} surjektiv (bzw. eine Immersion). Ist umgekehrt f_{red} surjektiv, so auch f.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei F : C^{opp} → (Sets) ein mengenwertiger kovarianter Funktor. Ein universelles Objekt für F ist ein Paar (X, x) mit X ∈ Obj(C^{opp}) und x ∈ F(X), sodass für jedes Objekt Y ∈ C^{opp} und jedes e ∈ F(Y) genau ein Morphismus f : X → Y existiert mit e = F(f)(x). Zeige:

a) Ein universelles Objekt für F (falls es existiert) ist bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmt (man mache sich zuerst klar, was die Morphismen hier sein müssen).

b) Sei (X, x) mit X ∈ Obj(C^{opp}) und x ∈ F(X) beliebig. Dann sind Hom_{C}(−, X) und F natürlich isomorph genau dann, wenn (X, x) ein universelles Objekt für F ist.

Abgabe bis spätestens 22. Januar 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.