Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 12 8. Januar 2009

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei Y ein Schema und Z ⊆ Y ein Unterschema. Zeige: Ein Morphismus f : X → Y faktorisiert über ein Unterschema Z genau dann, wenn folgende Bedingungen gelten:

a) f(X) ⊆ Z als Mengen,

b) f^{♭} : O_{Y} → f_{∗}O_{X} faktorisiert über den surjektiven Morphismus O_{Y} → i_{∗}O_{Z}.

Zeige zudem: Ist Z ein offenes Unterschema, so impliziert a) schon b).

Aufgabe 2. (4 Punkte) In der Vorlesung wurde allgemein für einen Morphismen f : X → Y die Eigenschaft definiert, lokal von endlichem Typ bzw. von endlichem Typ zu sein. Nun heisst ein Morphismus f quasi-kompakt, wenn eine offene affine Überdeckung (Y_{i})_{i∈I} von Y existiert, sodass f^{−1}(Y_{i}) quasi-kompakt ist für alle i ∈ I. Zeige:

a) Ein Morphismus f ist quasi-kompakt genau dann, wenn für jedes offene affine U ⊆ Y das Schema f^{−1}(U) quasi-kompakt ist.

b) Ein Morphismus f ist von endlichem Typ genau dann, wenn er lokal von endlichem Typ und quasi-kompakt ist.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Zeige:

a) Abgeschlossene Einbettungen sind von endlichem Typ.

b) Quasi-kompakte offene Einbettung sind von endlichem Typ.

Abgabe bis spätestens 15. Januar 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.