Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 11 18. Dezember 2008

X = Schema. Wir sagen: Lokal hat X die Eigenschaft E (bzw. X ist lokal-E), wenn zu jedem Punkt x ∈ X eine (affine) Umgebung x ∈ U existiert, sodass U die Eigenschaft E hat. Damit das im folgenden auch Sinn macht sei erwähnt, dass man folgendes zeigen kann: X ist lokal-noethersch (im Sinne der Vorlesung) genau dann, wenn es lokal-noethersch nach obiger Definition ist (vgl. etwa Hartshorne, II.3.2).

Aufgabe 1. (4 Punkte) Wir betrachten folgende Konstruktion: Sei k algebraisch abgeschlossen und seien ℤ Kopien von 𝔸_{k}^{1} so verklebt, dass sich die i-te Kopie von 𝔸_{k}^{1} mit der (i + 1)-ten genau in einem Punkt schneidet, wobei dieser Schnittpunkt die 0 in der i-ten Kopie und die 1 in der (i + 1)-ten Kopie sein soll. Zeige: Dies ergibt ein zusammenhängendes, lokal-noethersches Schema, welches nicht quasi-kompakt ist.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei X lokal-noethersch. Zeige: Lokal hat X höchstens endlich viele irreduzible Komponenten (d.h. maximale irreduzible Teilmengen).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Für einen topologischen Raum X werden generische Punkte manchmal auch folgendermassen definiert: Ein Punkt x ∈ X heisst generisch, wenn x der eindeutige Punkt von X ist, der nach x spezialisiert (Achtung: dies unterscheidet sich eventuell von der bisherigen Definition!). Seien im folgenden X wieder ein Schema und generische Punkte in diesem Sinne verstanden.

a) Sei X ein affines Schema. Zeige: Der Punkt 𝔭 ist ein generischer Punkt genau dann, wenn 𝔭 ein minimales Primideal ist.

b) Zeige: Die irreduziblen Komponenten von Spec(O_{X,x}) entsprechen bijektiv den irreduziblen Komponenten von X, die x enthalten.

Aufgabe 4. (4 Punkte)

a) Sei X lokal-noethersch. Zeige: X ist lokal-integer genau dann, wenn für alle x ∈ X der lokale Ring O_{X,x} ein Integritätsbereich ist.

b) Seien K ein Körper und X = Spec(∏_{i=1}^{n} K), n > 1. Zeige: X ist nicht integer, aber O_{X,x} ist ein Körper für alle x ∈ X.

Abgabe bis spätestens 8. Januar 2009, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.

Wir wünschen allen schöne Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!