Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 9 4. Dezember 2008

A = kommutativer Ring mit 1, X = Spec(A).

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei U ⊆ X offen. Zeige:

O_{X}(U) ≅ {{s_{𝔭}}_{𝔭∈U} ∈ ∏_{𝔭∈U} A_{𝔭}| ∀𝔭 ∈ U : s_{𝔭} ∈ A_{𝔭}, ∃ Umgebung 𝔭 ∈ V ⊆ U
und a, f ∈ A, sodass ∀𝔮 ∈ V : f ∉ 𝔮, s_{𝔮} = a/f ∈ A_{𝔮}}

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei φ : A → B ein Ringhomomorphismus und f = ^{a}φ : X = Spec(B) → Spec(A) = Y der induzierte Morphismus affiner Schemata. Zeige:

a) φ ist injektiv genau dann, wenn der Garbenmorphismus f^{♭} : O_{Y} → f_{∗}O_{X} injektiv ist.

b) Ist φ surjektiv, so ist f ein Homöomorphismus von X auf eine abgeschlossene Teilmenge von Y, und f^{♭} : O_{Y} → f_{∗}O_{X} ist surjektiv.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei (X, O_{X}) eine Prävarietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Zeige:

a) (X, O_{X}) ist ein lokal-geringter Raum, und es gilt κ(x) = k ∀x ∈ X.

b) Ist (X, O) eine affine Varietät und Γ(X) ihr affiner Koordinatenring, so gilt Γ(X) = O_{X}(X). Ist f ∈ Γ(X) und x ∈ X, so stimmen die zwei Auffassungen

i) f(x) als (Restklasse eines) Polynom(s) und Einsetzen von x,

ii) f(x) ∈ κ(x) als das Bild des kanonischen Homomorphismus O_{X}(X) → O_{X,x} → κ(x)

von f(x) überein.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und char(k) ≠ 2 sowie A = k[S, T]/(T^{2} − S^{3} − S^{2}). Sei x der dem Primideal 𝔪 = (S, T) entsprechende Punkt. Bestimme die Primideale des lokalen Rings O_{X,x} = A_{𝔪}. Zeige, dass die Vervollständigung Â = k[[S, T]]/(T^{2} − S^{3} − S^{2}) kein Integritätsring ist. Bemerkung: Die Vervollständigung ist für lokale Betrachtungen in einem Punkt von Bedeutung.

Abgabe bis spätestens 11. Dezember 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.