Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 8 27. November 2008

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum, x ∈ X und A eine abelsche Gruppe. Auf X betrachten wir die Wolkenkratzergarbe W mit

W(U) = \{ \begin{matrix}A, & falls x ∈ U, \\ \{0\}, & falls x ∉ U. \end{matrix}

Auf \overline{\{x\}} sei weiterhin die konstante Garbe K mit Werten in A gegeben. Zeige: Für die Inklusion i : \overline{\{x\}} → X gilt i_{∗}K = W.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Ist φ : F → G ein Morphismus von Garben von abelschen Gruppen, so ist das Bild Im(φ) definiert als die zu dem Prägarbenbild φ(U)(F(U)) assoziierte Garbe. Zeige:

a) Ist φ ein Morphismus von Prägarben und ist φ(U) : F(U) → G(U) injektiv für alle U, so ist die induzierte Abbildung φ̃ : F̃ → G̃ von assoziierten Garben injektiv.

b) Man kann Im(φ) mit einer Untergarbe von G (d.h. Im(φ)(U) ist eine Untergruppe von G(U)) identifizieren.

c) Im(φ) = G ⟺ φ surjektiv.

Aufgabe 3. (8 Punkte) Sei G eine Gruppe, die auf einem lokal-geringten Raum (X, O_{X}) operiert, d.h. es gibt einen Gruppenhomomorphismus G → Aut(X) (Automorphismen lokal-geringter Räume). Sei Y = X/G (Bahnen von X modulo G) die Quotientenmenge und p : X → Y die natürliche Projektion, wobei Y mit der Quotiententopologie versehen ist (d.h. U ⊆ Y offen ⟺ p^{−1}(U) ⊆ X offen). Zeige:

a) p ist eine offene Abbildung.

b) G operiert auf dem lokal-geringten Raum (p^{−1}(U), O_{X}|_{p^{−1}(U)}). Insbesondere operiert G auf O_{X}(p^{−1}(U)).

c) Für U ⊆ Y offen seien O_{Y}(U) := O_{X}(p^{−1}(U))^{G} die unter G invarianten Elemente. Dann ist O_{Y} eine Garbe von Ringen auf Y.

d) Sei y ∈ Y und x ∈ p^{−1}(y). Dann ist O_{Y,y} ⊆ O_{X,x}. Sei 𝔪_{x} das maximale Ideal von O_{X,x} und sei 𝔪_{y} := 𝔪_{x} ∩ O_{Y,y}. Dann ist 𝔪_{y} das eindeutige maximale Ideal von O_{Y,y}.

e) (Y, O_{Y}) ist ein lokal-geringter Raum und p induziert einen Morphismus von lokal-geringten Räumen von (X, O_{X}) nach (Y, O_{Y}).

Bemerkung: Das so konstruierte p erfüllt eine universelle Eigenschaft: Es gilt p = p ∘ σ ∀σ ∈ G, und ist f : X → Z ein weiterer Morphismus lokal-geringter Räume mit dieser Eigenschaft, so faktorisiert f eindeutig über p.

Abgabe bis spätestens 4. Dezember 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.