Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 7 20. November 2008

X = topologischer Raum.

Aufgabe 1. (4 Punkte)

a) Wir betrachten die Menge X = {0, 1} mit der diskreten Topologie, d.h. jede Teilmenge ist offen. Bestimme alle Garben F von Mengen auf X.

b) Bestimme die Halme F_{x} der Garben F aus a) in allen Punkten aus X.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Wir wollen einsehen, dass für Garbenmorphismen auf einem topologischen Raum X die Surjektivität auf den Halmen nicht äquivalent ist zur Surjektivität auf allen offenen Mengen. Zeige dies in den folgenden Fällen:

a) F = G die Garbe der holomorphen invertierbaren Funktionen auf X = ℂ^{×} und φ : F → G der durch f ↦ f^{2} induzierte Morphismus,

b) X eine Menge bestehend aus 3 Punkten (mit noch zu bestimmenden Garben und einem Morphismus dazwischen).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Eine Garbe F auf X heisst lokalkonstant, falls für jeden Punkt x ∈ X eine offene Umgebung U ⊆ X existiert, sodass F|_{U} eine konstante Garbe ist.

a) Sei X irreduzibel. Zeige, dass dann für eine Prägarbe F auf X folgende Aussagen äquivalent sind:

i) Für ∅ ≠ U ⊆ X offen ist die Restriktionsabbildung F(X) → F(U) bijektiv, ii) F ist eine konstante Garbe auf X, iii) F ist eine lokalkonstante Garbe auf X.

b) Sei X zusammenhängend, und es existiere eine Garbe F, sodass F(X) mindestens zwei Elemente enthält sowie F(X) → F(U) bijektiv ist für alle ∅ ≠ U ⊆ X offen. Zeige: X ist irreduzibel.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Ist F eine Garbe abelscher Gruppen auf X, so ist der Träger von F definiert als SuppF = {x ∈ X| F_{x} ≠ 0}. Sei x_{0} ∈ X ein abgeschlossener Punkt. Wir definieren die Prägarbe G für jede offene Teilmenge U ⊂ X durch

G(U) = \{ \begin{matrix}F(U) = G(U), & falls x_{0} ∉ U, \\ F(U) = \{s ∈ G(U)| s_{x_{0}} = 0\}, & falls x_{0} ∈ U. \end{matrix}

Zeige: G ist eine Garbe und SuppG = SuppF \ {x_{0}}, d.h. insbesondere ist der Träger von G i.a. nicht abgeschlossen.

Abgabe bis spätestens 27. November 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.