Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 6 13. November 2008

A, B = kommutative Ringe mit 1.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum. Ist X = Spec(A), so ist X nach Vorlesung quasi-kompakt. Wir wollen weitere topologische Eigenschaften von X untersuchen. Zeige:

a) X ist noethersch genau dann, wenn jede offene Teilmenge von X quasi-kompakt ist,

b) Spec(A) ist im allgemeinen nicht noethersch,

c) Wenn der Ring A noethersch ist, so auch Spec(A). Gilt auch die Umkehrung?

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei X = Spec(A). Zeige:

a) Jede lokal abgeschlossene irreduzible Teilmenge Z ≠ ∅ von X (lokal abgeschlossen heisst: Z = U ∩ V mit U offen, V abgeschlossen) enthält einen eindeutig bestimmten generischen Punkt,

b) Jede irreduzible Teilmenge von X enthält höchstens einen generischen Punkt,

c) Ist A ein Hauptidealring mit unendlich vielen maximalen Idealen, so ist jede Teilmenge bestehend aus unendlich vielen abgeschlossenen Punkten irreduzibel, enthält aber keinen generischen Punkt.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Ist X = Spec(A) und ℘ ∈ X, so kann man den Restklassenkörper κ(℘) = A_{℘}/℘A_{℘} zu dem Punkt ℘ betrachten. Sei A = 𝔽_{p}[X]. Beschreibe die Punkte von X und welche Restklassenkörper auftreten können. Wieviele Punkte zu gegebenem Restklassenkörper gibt es? Hinweis: Zum Zählen der Punkte kann sich die Möbiussche Umkehrformel als hilfreich erweisen.

Aufgabe 4. (4 Punkte)

a) Sei Z ⊂ Spec(A) endlich und U eine offene Umgebung von Z. Zeige, dass ein f ∈ A existiert mit Z ⊂ D(f) ⊂ U.

b) Ist α : A → B ein Ringhomomorphismus, so ist bekanntlich die induzierte Abbildung ϕ_{α} : Spec(B) → Spec(A) stetig. Finde nun Ringe A, B und eine stetige Abbildung ϕ : Spec(B) → Spec(A), die nicht auf diese Weise von einem Ringhomomorphismus α : A → B herkommt.

Abgabe bis spätestens 20. November 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.