Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 5 6. November 2008

k = algebraisch abgeschlossener Körper, A = kommutativer Ring (mit 1).

Aufgabe 1. (4 Punkte) Seien Ψ, Λ ⊂ ℙ^{n}(k) komplementäre lineare Unterräume sowie X ⊆ Ψ eine projektive Varietät. Der “allgemeinere” Kegel wurde definiert als

\overline{X, Λ}= ⋃_{q∈X} \overline{q, Λ},

wobei \overline{q, Λ} den von q und Λ aufgespannten linearen Unterraum bezeichnet. Man mache nochmal explizit klar, dass \overline{X, Λ} eine projektive Varietät ist. Beschreibe, wie man den allgemeineren Kegel durch iterative Konstruktion aus dem Kegel mit einem Punkt gewinnen kann (und dass diese Konstruktionen übereinstimmen!).

Aufgabe 2. (4 Punkte) Punkte P_{1}, …, P_{r} ∈ ℙ^{2}(k) heissen (bei uns) in allgemeiner Lage, falls keine drei der Punkte auf einer Geraden liegen. Zeige: Zu fünf Punkten P_{1}, …P_{5} ∈ ℙ^{2}(k) in allgemeiner Lage gibt es genau eine Quadrik Q ⊆ ℙ^{2}(k) mit P_{1}, …, P_{5} ∈ Q, d.h. insbesondere haben zwei verschiedene Quadriken höchstens vier Schnittpunkte gemeinsam.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei f ∈ A, ℘ ∈ Spec(A). Zeige:

a) {℘} ist abgeschlossen in Spec(A) ⟺ ℘ ist maximales Ideal,

b) D(f) = ∅ ⟺ f nilpotent,

c) D(f) = Spec(A) ⟺ f ∈ A^{×},

d) Eine offene Teilmenge U ⊆ Spec(A) ist quasikompakt genau dann, wenn U = Spec(A) \ V(𝔞) für ein endlich erzeugtes Ideal 𝔞 in A.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) Spec(A) ist unzusammenhängend,

b) A enthält ein Idempotent e ≠ 0, 1,

c) A ≅ A_{1} × A_{2} mit A_{i} ≠ 0.

Abgabe bis spätestens 13. November 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.