Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 4 30. Oktober 2008

K = algebraisch abgeschlossener Körper.

Aufgabe 1. (Segre-Einbettung) (4 Punkte) Seien r, s ∈ ℕ und N := rs + r + s. Zeige:

a) Die mengentheoretische Abbildung

\begin{matrix}ψ : ℙ_{K}^{r} × ℙ_{K}^{s} & → ℙ_{K}^{N} \\ ((x_{0} : …: x_{r}), (y_{0} : …: y_{s})) & ↦ (x_{0}y_{0} : …: x_{0}y_{s} : …: x_{r}y_{0} : …x_{r}y_{s}) \end{matrix}

ist wohldefiniert und injektiv.

b) Im(ψ) ist eine projektive Menge in ℙ_{K}^{N} (d.h. Nullstellenmenge von einem homogenen Ideal).

c) Ist r = s = 1, so gilt Im(ψ) = V(Z_{1}Z_{2} − Z_{0}Z_{3}).

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei

U_{0} = {(x_{0} : …: x_{n})| x_{0} ≠ 0} ⊂ ℙ_{K}^{n}.

Nach Vorlesung können wir U_{0} mit 𝔸_{K}^{n} identifizieren. Sei weiterhin Y ⊆ 𝔸_{K}^{n} eine irreduzible Varietät sowie \overline{Y}der Abschluss von Y in ℙ_{K}^{n}.

a) Zeige, dass \overline{Y}= V_{+}(Ψ_{0}(f), f ∈ I(Y)), wobei Ψ_{0}(f) = X_{0}^{degf} f(\frac{X_{1}}{X_{0}}, …, \frac{X_{n}}{X_{0}} ) für f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}].

b) Zeige anhand des Beispiels von Blatt 1, Aufgabe 2 (V(Y − X^{2}, Z − X^{3})), dass für Erzeuger f_{1}, …, f_{m} von I(Y) im allgemeinen nicht \overline{Y}= V_{+}(Ψ_{0}(f_{1}), …, Ψ_{0}(f_{m})) gelten muss.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Seien V_{1} ⊆ ℙ_{K}^{m}, V_{2} ⊆ P_{K}^{n} projektive Varietäten und ϕ : V_{1} → V_{2} eine Abbildung. Existieren für jedes x ∈ V_{1} eine offene Umgebung U_{x} ⊆ V_{1} und homogene Polynome f_{0}, …, f_{n} ∈ K[X_{0}, …, X_{m}] vom gleichen Grad, sodass ϕ(y) = (f_{0}(y) : …: f_{n}(y)) für alle y ∈ U_{x} gilt, so wurde in der Vorlesung nachgewiesen, dass ϕ ein Morphismus von Prävarietäten ist. Zeige die Umkehrung.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei char(K) ≠ 2 und V = V_{+}(X^{2}+Y^{2}−Z^{2}) ⊆ ℙ_{K}^{2}. Zeige, dass die Abbildung ϕ : (x : y : z) ↦ (x+z : y) (gegeben auf dem Teil von V, auf dem sie definiert ist) sich zu einem Morphismus von Prävarietäten ϕ : V → ℙ^{1} fortsetzt.

Abgabe bis spätestens 6. November 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.