Aufgabe 3. Seien V ⊆ ℙ^{m}(k), W ⊆ ℙ^{n}(k) projektive Varietäten und ϕ : V → W eine Abbildung. Dann ist ϕ ein Morphismus genau dann, wenn zu jedem x ∈ V eine offene Umgebung U_{x} ⊆ V und homogene Polynome vom gleichen Grad f_{0}, …, f_{n} ∈ k[X_{0}, …, X_{m}] existieren mit ϕ(y) = (f_{0}(y) : …: f_{n}(y)) ∀y ∈ U_{x}.

Beweis. Wir zeigen “ ⇒′′: Sei x ∈ V und o.E. ϕ(x) ∈ U_{0}. Sei U = U_{0} ∩ W, U_{x} = φ^{−1}(U). Sei X_{i} : U → 𝔸^{1} die reguläre Funktion (x_{1}, …, x_{n}) ↦ x_{i}. Dann ist X_{i} ∘ ϕ : U_{x} → 𝔸^{1} regulär, d.h. es existieren homogene Polynome vom gleichen Grad g_{i}, h_{i} mit (X_{i} ∘ ϕ)(y) = \frac{g_{i} (y)}{h_{i} (y)} ∀y ∈ U_{x}^{i} für ein geeignetes U_{x}^{i} ⊆ U_{x} offen. Sei y ∈ ⋂_{i=0}^{n} U_{x}^{i} := U_{x}, d.h.

ϕ(y) = (1 : \frac{g_{1}(y)}{h_{1}(y)} : …: \frac{g_{n}(y)}{h_{n}(y)} ) ∀y ∈ U_{x}.

Multiplikation mit einem geeigneten Polynom h (Vielfaches von h_{1}, …, h_{n}) liefert

ϕ(y) = (h(y) : \frac{g_{1}(y)h(y)}{h_{1}(y)} : …: \frac{g_{n}(y)h(y)}{h_{n}(y)} ) ∀y ∈ U_{x}.