Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 3 23. Oktober 2008

K = algebraisch abgeschlossener Körper.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Seien V_{1} = V(Y − X^{2}), V_{2} = V(XY − 1), V_{3} = V(Y^{2} − X^{3}). Zeige: Die affinen algebraischen Mengen V_{1}, V_{2}, V_{3} sind irreduzibel und nicht paarweise isomorph.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei X = ⋃_{i} U_{i} eine Prävarietät (U_{i} affine Varietäten) und Y ⊆ 𝔸_{K}^{n} eine affine Varietät. Eine Abbildung f : X → K heisst regulär auf X, falls es zu jedem P ∈ X eine offene Umgebung U von P gibt, sodass gilt: Für jedes i mit U ∩ U_{i} ≠ ∅ existieren Polynome p_{i}, q_{i} (“passend” zu U_{i}) mit q_{i}(Q) ≠ 0, Q ∈ U ∩ U_{i}, und f = p_{i}/q_{i} auf U ∩ U_{i}. Zeige: Eine Abbildung ϕ : X → Y ist ein Morphismus (von Räumen mit Funktionen) genau dann, wenn X_{i} ∘ ϕ eine reguläre Funktion auf X für alle i ist, wobei X_{i} die i-te Koordinatenfunktion vom Polynomring K[X_{1}, …, X_{n}] zu 𝔸_{K}^{n} bezeichnet.

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei X eine Prävarietät und sei Y eine affine Varietät. Zeige, dass die Abbildung (!)

Hom(X, Y) → Hom_{k−Alg}(O_{Y}(Y), O_{X}(X)), f ↦ f^{∗} = {φ ↦ φ ∘ f},

eine Bijektion ist.

Aufgabe 4. (Lustige Klebespiele) (4 Punkte) Sei I eine Menge, U_{i} topologische Räume (i ∈ I), U_{ij} ⊆ U_{i} offene Teilmengen (i, j ∈ I) und φ_{ji} : U_{ij} → U_{ji} Homöomorphismen, sodass

i) U_{ii} = U_{i}, φ_{ii} = id_{U_{i}} ,

ii) φ_{jk} ∘ φ_{ji} = φ_{ki} auf U_{ij} ∩ U_{ij}, i, j, k ∈ I.

Insbesondere ist bei ii) gefordert, dass φ_{ji}(U_{ij} ∩ U_{ik}) ⊆ U_{jk}, i, j, k ∈ I, gilt.

a) Zeige, dass ein topologischer Raum X zusammen mit Abbildungen ψ_{i} : U_{i} → X existiert, sodass für alle i die Abbildungen ψ_{i} einen Homöomorphismus von U_{i} mit einer offenen Teilmengen von X induziert, und dass X = ⋃_{i} ψ_{i}(U_{i}) sowie für alle i, j ∈ I gilt: ψ_{j} ∘ φ_{ji}|_{U_{ij}} = ψ_{i}|_{U_{ij}} (d.h. ψ_{i}(U_{i}) ∩ ψ_{j}(U_{j}) = ψ_{i}(U_{ij}) = ψ_{j}(U_{ji})). Hinweis: Quotiententopologie

b) Zeige, dass eine entsprechende Aussage für Räume mit Funktionen gilt. Zeige zudem: Ist I endlich, sind alle U_{i} Prävarietäten und ist X zusammenhängend, so ist X eine Prävarietät.

c) Gib ein Beispiel für eine Verklebung von Prävarietäten an, sodass ein zusammenhängender Raum mit Funktionen entsteht, der keine Prävarietät ist.

Abgabe bis spätestens 30. Oktober 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.