Universität Heidelberg Mathematisches Institut

Prof. Dr. Otmar Venjakob Andreas Riedel

Algebraische Geometrie I

Wintersemester 2008/09

Aufgabenblatt 2 16. Oktober 2008

Auf diesem Blatt bezeichne K einen algebraisch abgeschlossenen Körper.

Aufgabe 1. (4 Punkte) Es gelte char(K) = p > 0. Die Frobeniusabbildung ist definiert durch

φ : 𝔸_{K}^{n} → 𝔸_{K}^{n}, (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (x_{1}^{p}, …, x_{n}^{p}).

Zeige: φ ist ein bijektiver Morphismus und die Umkehrabbildung φ^{−1} ist stetig, aber φ^{−1} ist kein Morphismus.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Zeige: Ist F = (F_{1}, …F_{n}) : 𝔸_{K}^{n} → 𝔸_{K}^{n} ein Isomorphismus, so ist die Jakobideterminante

det (\begin{matrix}\frac{∂F_{1}}{∂x_{1}} & … & \frac{∂F_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂F_{n}}{∂x_{1}} & … & \frac{∂F_{n}}{∂x_{n}} \end{matrix} )

ein konstantes Polynom ungleich 0. Zusatz (**): Zeige die Umkehrung (Jakobivermutung).

Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] ein nicht-konstantes Polynom und sei f = ∏_{i=1}^{r} f_{i}^{n_{i}} mit irreduziblen Polynomen f_{i}, sodass (f_{i}) ≠ (f_{j}) für alle i ≠ j gilt. Zeige, dass \sqrt{(f)} = (f_{1} · . . .· f_{r}) gilt, und dass die irreduziblen Komponenten von V(f) ⊆ 𝔸_{K}^{n} genau die V(f_{i}), i = 1, …, r, sind.

Aufgabe 4. (4 Punkte) Seien V ⊆ 𝔸_{K}^{n}, W ⊆ 𝔸_{K}^{n} affine algebraische Mengen. Zeige:

a) Man kann V × W in natürlicher Weise als affine algebraische Menge in 𝔸_{K}^{n+m} auffassen.

b) Sind V, W irreduzibel, so auch V × W.

Abgabe bis spätestens 23. Oktober 2008, 9:15 Uhr, bei den Kästen am Eingang von INF 288.